题目
练习 设总体X的概率密度为f(x)=}sqrt(theta)x^sqrt(theta)-1,0le xle 1,theta,其他.)为一相应的样本值，求theta的矩估计量和矩估计值.
练习 设总体X的概率密度为$f(x)=\begin{cases}\sqrt{\theta}x^{\sqrt{\theta}-1},0\le x\le 1,\\\theta,其他.\end{cases}$其中$\theta>0,\theta$为未参知数，$(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n})$是来自总体X的样本，$(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$为一相应的样本值，求$\theta$的矩估计量和矩估计值.
题目解答
答案
计算总体期望 $E(X)$：
$$
E(X) = \int_0^1 x \cdot \sqrt{\theta} x^{\sqrt{\theta} - 1} \, dx = \frac{\sqrt{\theta}}{\sqrt{\theta} + 1}.
$$
令样本均值 $\overline{X}$ 等于总体期望：
$$
\frac{\sqrt{\theta}}{\sqrt{\theta} + 1} = \overline{X}.
$$
解得：
$$
\sqrt{\theta} = \frac{\overline{X}}{1 - \overline{X}} \quad \Rightarrow \quad \theta = \left( \frac{\overline{X}}{1 - \overline{X}} \right)^2.
$$
**答案：**
$\theta$ 的矩估计量为：
$$
\boxed{\left( \frac{\overline{X}}{1 - \overline{X}} \right)^2},
$$
其中 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$。
$\theta$ 的矩估计值为：
$$
\boxed{\left( \frac{\overline{x}}{1 - \overline{x}} \right)^2},
$$
其中 $\overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$。
解析
步骤 1：计算总体期望 $E(X)$
根据给定的概率密度函数，计算总体期望 $E(X)$。总体期望的计算公式为：
$$ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx. $$
对于给定的概率密度函数，$f(x)$ 在 $0 \leq x \leq 1$ 时为 $\sqrt{\theta} x^{\sqrt{\theta} - 1}$，在其他区间为 $\theta$。因此，总体期望的计算公式变为：
$$ E(X) = \int_0^1 x \cdot \sqrt{\theta} x^{\sqrt{\theta} - 1} \, dx. $$
步骤 2：计算积分
计算上述积分，得到：
$$ E(X) = \int_0^1 \sqrt{\theta} x^{\sqrt{\theta}} \, dx = \sqrt{\theta} \int_0^1 x^{\sqrt{\theta}} \, dx. $$
利用积分公式 $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$，得到：
$$ E(X) = \sqrt{\theta} \left[ \frac{x^{\sqrt{\theta} + 1}}{\sqrt{\theta} + 1} \right]_0^1 = \frac{\sqrt{\theta}}{\sqrt{\theta} + 1}. $$
步骤 3：求解矩估计量
令样本均值 $\overline{X}$ 等于总体期望 $E(X)$，得到：
$$ \frac{\sqrt{\theta}}{\sqrt{\theta} + 1} = \overline{X}. $$
解得：
$$ \sqrt{\theta} = \frac{\overline{X}}{1 - \overline{X}} \quad \Rightarrow \quad \theta = \left( \frac{\overline{X}}{1 - \overline{X}} \right)^2. $$
步骤 4：求解矩估计值
将样本值 $(x_1, x_2, \cdots, x_n)$ 代入样本均值 $\overline{X}$ 的计算公式，得到：
$$ \overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i. $$
将 $\overline{x}$ 代入矩估计量的公式，得到矩估计值：
$$ \theta = \left( \frac{\overline{x}}{1 - \overline{x}} \right)^2. $$
根据给定的概率密度函数，计算总体期望 $E(X)$。总体期望的计算公式为：
$$ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx. $$
对于给定的概率密度函数，$f(x)$ 在 $0 \leq x \leq 1$ 时为 $\sqrt{\theta} x^{\sqrt{\theta} - 1}$，在其他区间为 $\theta$。因此，总体期望的计算公式变为：
$$ E(X) = \int_0^1 x \cdot \sqrt{\theta} x^{\sqrt{\theta} - 1} \, dx. $$
步骤 2：计算积分
计算上述积分，得到：
$$ E(X) = \int_0^1 \sqrt{\theta} x^{\sqrt{\theta}} \, dx = \sqrt{\theta} \int_0^1 x^{\sqrt{\theta}} \, dx. $$
利用积分公式 $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$，得到：
$$ E(X) = \sqrt{\theta} \left[ \frac{x^{\sqrt{\theta} + 1}}{\sqrt{\theta} + 1} \right]_0^1 = \frac{\sqrt{\theta}}{\sqrt{\theta} + 1}. $$
步骤 3：求解矩估计量
令样本均值 $\overline{X}$ 等于总体期望 $E(X)$，得到：
$$ \frac{\sqrt{\theta}}{\sqrt{\theta} + 1} = \overline{X}. $$
解得：
$$ \sqrt{\theta} = \frac{\overline{X}}{1 - \overline{X}} \quad \Rightarrow \quad \theta = \left( \frac{\overline{X}}{1 - \overline{X}} \right)^2. $$
步骤 4：求解矩估计值
将样本值 $(x_1, x_2, \cdots, x_n)$ 代入样本均值 $\overline{X}$ 的计算公式，得到：
$$ \overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i. $$
将 $\overline{x}$ 代入矩估计量的公式，得到矩估计值：
$$ \theta = \left( \frac{\overline{x}}{1 - \overline{x}} \right)^2. $$