测量到某一目标的距离时发生的随机误差 -N(20,,-|||-40^2)(单位:m),求在三次测量中至少有一次-|||-误差的绝对值不超过30m的概率.

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算及对立事件在概率问题中的应用。

解题核心思路：

1. 确定单次测量中误差绝对值不超过30m的概率：将正态分布转化为标准正态分布，利用标准正态分布表计算概率。
2. 利用对立事件简化计算：三次测量中“至少有一次误差绝对值不超过30m”的对立事件是“三次误差绝对值均超过30m”，通过计算对立事件的概率再取补集。

破题关键点：

• 正态分布标准化：通过公式 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ 将原始正态分布转化为标准正态分布。
• 正确查表计算概率：根据标准化后的Z值，查标准正态分布表得到累积概率并求差。
• 对立事件的应用：通过计算对立事件的概率简化三次独立事件的联合概率。

步骤1：计算单次测量中误差绝对值不超过30m的概率

误差 $S \sim N(20, 40^2)$，需计算 $P(|S| \leq 30)$，即 $P(-30 \leq S \leq 30)$。

1. 标准化处理：

   • 当 $S = 30$ 时，$Z_1 = \frac{30 - 20}{40} = 0.25$。
   • 当 $S = -30$ 时，$Z_2 = \frac{-30 - 20}{40} = -1.25$。

2. 查标准正态分布表：

   • $P(Z \leq 0.25) \approx 0.5987$，
   • $P(Z \leq -1.25) \approx 0.1056$。

3. 求概率差：
   $P(-30 \leq S \leq 30) = P(Z \leq 0.25) - P(Z \leq -1.25) = 0.5987 - 0.1056 = 0.4931.$

步骤2：计算三次测量中至少有一次误差绝对值不超过30m的概率

• 对立事件：三次误差绝对值均超过30m的概率为 $(1 - 0.4931)^3 = 0.5069^3 \approx 0.1302$。
• 所求概率：
  $P = 1 - 0.1302 \approx 0.87.$