证明方程 x = a sin x + b, (a > 0, b > 0) 至少有一个不超过 a + b 的正根.

我们要证明：方程
$x = a \sin x + b \quad \text{（其中 } a > 0, b > 0\text{）}$
至少有一个不超过 $ a + b $ 的正根。

第一步：定义函数

令
$f(x) = x - a \sin x - b$
我们要求的是这个函数的零点，即解方程
$f(x) = 0$

第二步：考虑函数在区间 $[0, a + b]$ 上的行为

我们将在区间 $[0, a + b]$ 上研究函数 $ f(x) $ 的值，以应用介值定理（Intermediate Value Theorem）。

1. 在 $ x = 0 $ 处：

$f(0) = 0 - a \sin 0 - b = -b < 0$

2. 在 $ x = a + b $ 处：

$f(a + b) = (a + b) - a \sin(a + b) - b = a(1 - \sin(a + b))$

因为 $ \sin(a + b) \leq 1 $，所以
$1 - \sin(a + b) \geq 0 \Rightarrow f(a + b) \geq 0$

特别地，除非 $ \sin(a + b) = 1 $，否则 $ f(a + b) > 0 $。

第三步：应用介值定理

我们已经知道：

• $ f(0) = -b < 0 $
• $ f(a + b) \geq 0 $

因此，根据介值定理，在区间 $ (0, a + b] $ 内，函数 $ f(x) $ 必定取到 0，即存在某个 $ x_0 \in (0, a + b] $，使得
$f(x_0) = 0 \quad \Rightarrow \quad x_0 = a \sin x_0 + b$

这说明方程至少有一个正根，并且这个正根不超过 $ a + b $。

✅ 结论：

方程
$x = a \sin x + b \quad (a > 0, b > 0)$
至少有一个不超过 $ a + b $ 的正根。

最终答案：

$\boxed{\text{方程 } x = a \sin x + b \text{ 至少有一个不超过 } a + b \text{ 的正根。}}$