题目

设随机变量X~N(1，4)，已知Φ(0.5)=0.6915，Φ(1.5)=0.9332，则P(|X|A. 对B. 错

设随机变量X~N(1，4)，已知Φ(0.5)=0.6915，Φ(1.5)=0.9332，则P{|X|<2}=0.6247

A. 对

B. 错

题目解答

答案

A. 对

解析

本题考查正态分布的概率计算，解题思路是先将一般正态分布$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$转化为标准正态分布$Z\sim N(0,1)$，再利用标准正态分布的性质和已知的$\varPhi$值来计算$P\{|X|\lt 2\}$。

  1. 已知随机变量$X\sim N(1,4)$，则$\mu = 1$，$\sigma = \sqrt{4}=2$。
  2. 计算$P\{|X|\lt 2\}$：
    • 根据绝对值不等式的性质$\vert X\vert\lt 2$等价于$-2\lt X\lt 2$，所以$P\{|X|\lt 2\}=P\{-2\lt X\lt 2\}$。
    • 为了将一般正态分布转化为标准正态分布，令$Z=\frac{X - \mu}{\sigma}=\frac{X - 1}{2}$，则$Z\sim N(0,1)$。
    • 对$P\{-2\lt X\lt 2\}$进行标准化：
      $P\{-2\lt X\lt 2\}=P\{\frac{-2 - 1}{2}\lt\frac{X - 1}{2}\lt\frac{2 - 1}{2}\}=P\{-1.5\lt Z\lt 0.5\}$。
    • 根据标准正态分布的性质$P\{a\lt Z\lt b\}=\varPhi(b)-\varPhi(a)$，可得$P\{-1.5\lt Z\lt 0.5\}=\varPhi(0.5)-\varPhi(-1.5)$。
    • 又因为标准正态分布关于$y$轴对称，所以$\varPhi(-z)=1 - \varPhi(z)$，则$\varPhi(-1.5)=1 - \varPhi(1.5)$。
    • 已知$\varPhi(0.5)=0.6915$，$\varPhi(1.5)=0.9332$，代入上式可得：
      $P\{-1.5\lt Z\lt 0.5\}=\varPhi(0.5)-(1 - \varPhi(1.5))=0.6915-(1 - 0.9332)$
      $=0.6915 - 1 + 0.9332=0.6247$。