在总体回归直线 E(Y) = beta_0 + beta_1 X 中, beta_1 表示( )A. 当X增加一个单位时,Y增加 beta_1 个单位B. 当X增加一个单位时,Y平均增加 beta_1 个单位C. 当Y增加一个单位时,X增加 beta_1 个单位D. 当Y增加一个单位时,X平均增加 beta_1 个单位
A. 当X增加一个单位时,Y增加 $\beta_1$ 个单位
B. 当X增加一个单位时,Y平均增加 $\beta_1$ 个单位
C. 当Y增加一个单位时,X增加 $\beta_1$ 个单位
D. 当Y增加一个单位时,X平均增加 $\beta_1$ 个单位
题目解答
答案
解析
本题考查总体回归直线中回归系数的含义。解题思路是根据总体回归直线方程的定义和性质,分析回归系数 $\beta_1$ 所代表的实际意义。
总体回归直线方程为 $E(Y) = \beta_0 + \beta_1 X$,其中 $E(Y)$ 表示 $Y$ 的条件期望,也就是在给定 $X$ 的取值下,$Y$ 的平均值。
设 $X$ 的取值为 $X_1$ 时,$Y$ 的平均值为 $E(Y_1)=\beta_0 + \beta_1 X_1$;当 $X$ 的取值增加一个单位变为 $X_2 = X_1 + 1$ 时,$Y$ 的平均值为 $E(Y_2)=\beta_0 + \beta_1 X_2=\beta_0 + \beta_1 (X_1 + 1)$。
计算 $X$ 增加一个单位前后 $Y$ 的平均值的变化量:
$\begin{align*}E(Y_2)-E(Y_1)&=(\beta_0 + \beta_1 (X_1 + 1))-(\beta_0 + \beta_1 X_1)\\&=\beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_1 - \beta_0 - \beta_1 X_1\\&=\beta_1\end{align*}$
这表明当 $X$ 增加一个单位时,$Y$ 的平均值增加 $\beta_1$ 个单位。
选项A错误,因为回归直线描述的是平均变化情况,不是确定的单个 $Y$ 值的变化;选项C和D错误,它们混淆了自变量 $X$ 和因变量 $Y$ 的关系,在该回归直线中 $X$ 是自变量,$Y$ 是因变量,应该是 $X$ 的变化引起 $Y$ 的变化。