题目
一力场由沿横轴正方向的常力F所构成.试求当一质量为m的质点沿-|||-圆周 ^2+(y)^2=(R)^2 按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所作的功.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定力场和路径
力场由沿横轴正方向的常力F构成，即力场为 $\vec{F} = F\hat{i}$，其中 $\hat{i}$ 是沿x轴正方向的单位向量。质点沿圆周 ${x}^{2}+{y}^{2}={R}^{2}$ 按逆时针方向移动，位于第一象限的那一段弧，可以表示为参数方程 $x = R\cos t$，$y = R\sin t$，其中 $t$ 从 $0$ 变到 $\frac{\pi}{2}$。
步骤 2：计算力场沿路径所做的功
力场沿路径所做的功 $W$ 可以通过计算力场与路径的线积分得到，即 $W = \int_{L} \vec{F} \cdot d\vec{r}$。其中，$d\vec{r} = dx\hat{i} + dy\hat{j}$，而 $dx = -R\sin t dt$，$dy = R\cos t dt$。因此，$W = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} F(-R\sin t) dt$。
步骤 3：计算积分
计算上述积分，得到 $W = -FR \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin t dt = -FR[-\cos t]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -FR[-\cos(\frac{\pi}{2}) + \cos(0)] = -FR[0 + 1] = -FR$。
力场由沿横轴正方向的常力F构成，即力场为 $\vec{F} = F\hat{i}$，其中 $\hat{i}$ 是沿x轴正方向的单位向量。质点沿圆周 ${x}^{2}+{y}^{2}={R}^{2}$ 按逆时针方向移动，位于第一象限的那一段弧，可以表示为参数方程 $x = R\cos t$，$y = R\sin t$，其中 $t$ 从 $0$ 变到 $\frac{\pi}{2}$。
步骤 2：计算力场沿路径所做的功
力场沿路径所做的功 $W$ 可以通过计算力场与路径的线积分得到，即 $W = \int_{L} \vec{F} \cdot d\vec{r}$。其中，$d\vec{r} = dx\hat{i} + dy\hat{j}$，而 $dx = -R\sin t dt$，$dy = R\cos t dt$。因此，$W = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} F(-R\sin t) dt$。
步骤 3：计算积分
计算上述积分，得到 $W = -FR \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin t dt = -FR[-\cos t]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -FR[-\cos(\frac{\pi}{2}) + \cos(0)] = -FR[0 + 1] = -FR$。