1 在总体N(7.6，4)中抽取容量为n的样本，如果要求样本均值落在(5.6，9.6)之间的概率不小于0.95，则n至少为多少?

本题考查正态分布的性质以及样本均值的分布，解题的关键在于利用正态分布的标准化变换，将样本均值的区间概率转化为标准正态分布的概率，再通过查标准正态分布表求解样本容量 $n$。

1. 确定样本均值的分布：
   已知总体 $X \sim N(7.6, 4)$，根据样本均值的性质，样本均值 $\overline{X}$ 服从正态分布 $N(7.6, \frac{4}{n})$，其中均值为总体均值 $7.6$，方差为总体方差除以样本容量 $n$，即 $\frac{4}{n}$。
2. 对样本均值进行标准化变换：
   设 $Z = \frac{\overline{X} - 7.6}{\sqrt{\frac{4}{n}}}$，则 $Z$ 服从标准正态分布 $N(0, 1)$。
   对于 $P(5.6 < \overline{X} < 9.6)$，进行标准化变换：
   $\begin{align*}P(5.6 < \overline{X} < 9.6) &= P\left(\frac{5.6 - 7.6}{\sqrt{\frac{4}{n}}} < \frac{\overline{X} - 7.6}{\sqrt{\frac{4}{n}}} < \frac{9.6 - 7.6}{\sqrt{\frac{4}{n}}}\right)\\&= P\left(\frac{-2}{\sqrt{\frac{4}{n}}} < Z < \frac{2}{\sqrt{\frac{4}{n}}}\right)\\&= P\left(-\sqrt{n} < Z < \sqrt{n}\right)\end{align*}$
3. 利用标准正态分布的性质计算概率：
   根据标准正态分布的性质，$P(-\sqrt{n} < Z < \sqrt{n}) = \Phi(\sqrt{n}) - \Phi(-\sqrt{n})$，又因为标准正态分布关于 $y$ 轴对称，即 $\Phi(-\sqrt{n}) = 1 - \Phi(\sqrt{n})$，所以 $P(-\sqrt{n} < Z < \sqrt{n}) = \Phi(\sqrt{n}) - (1 - \Phi(\sqrt{n})) = 2\Phi(\sqrt{n}) - 1$。
4. 求解不等式：
   已知 $P(5.6 < \overline{X} < 9.6) \geq 0.95$，即 $2\Phi(\sqrt{n}) - 1 \geq 0.95$。
   移项可得 $2\Phi(\sqrt{n}) \geq 0.95 + 1 = 1.95$，两边同时除以 $2$，得到 $\Phi(\sqrt{n}) \geq 0.975$。
5. 查标准正态分布表确定 $\sqrt{n}$ 的范围：
   查标准正态分布表可得，当 $\Phi(\sqrt{n}) \geq 0.975$ 时，$\sqrt{n} \geq 1.96$。
6. 计算 $n$ 的范围并取整：
   两边同时平方可得 $n \geq 1.96^2 = 3.8416$。
   因为 $n$ 为样本容量，必须为整数，所以 $n$ 的最小值为 $4$。