题目
要求一种元件平均使用寿命不得低于1000h,生产者从一批这种元件-|||-中随机抽取25件,测得其寿命的平均值为950h.已知该种元件寿命服从标准差-|||-为 =100h 的正态分布.试在显著性水平 alpha =0.05 下判断这批元件是否合格?-|||-设总体均值为μ,μ未知.即需检验假设 _(0):mu geqslant 1000, _(1):mu lt 1000.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定检验类型和检验统计量
由于总体标准差已知，且总体服从正态分布，因此采用Z检验。检验统计量为 $Z = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$，其中 $\overline{x}$ 是样本均值，$\mu_0$ 是原假设中的总体均值，$\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本容量。
步骤 2：确定显著性水平和临界值
显著性水平 $\alpha = 0.05$，因为这是一个左侧检验，所以临界值为 $-z_{\alpha} = -z_{0.05} = -1.645$。拒绝域为 $Z \leq -1.645$。
步骤 3：计算检验统计量的值
将已知数据代入检验统计量公式，得到 $Z = \frac{950 - 1000}{100 / \sqrt{25}} = \frac{-50}{20} = -2.5$。
步骤 4：比较检验统计量的值与临界值
检验统计量的值 $Z = -2.5$ 小于临界值 $-1.645$，因此落在拒绝域内。
步骤 5：做出决策
由于检验统计量的值落在拒绝域内，因此在显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下拒绝原假设 $H_0$，认为这批元件不合格。
由于总体标准差已知，且总体服从正态分布，因此采用Z检验。检验统计量为 $Z = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$，其中 $\overline{x}$ 是样本均值，$\mu_0$ 是原假设中的总体均值，$\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本容量。
步骤 2：确定显著性水平和临界值
显著性水平 $\alpha = 0.05$，因为这是一个左侧检验，所以临界值为 $-z_{\alpha} = -z_{0.05} = -1.645$。拒绝域为 $Z \leq -1.645$。
步骤 3：计算检验统计量的值
将已知数据代入检验统计量公式，得到 $Z = \frac{950 - 1000}{100 / \sqrt{25}} = \frac{-50}{20} = -2.5$。
步骤 4：比较检验统计量的值与临界值
检验统计量的值 $Z = -2.5$ 小于临界值 $-1.645$，因此落在拒绝域内。
步骤 5：做出决策
由于检验统计量的值落在拒绝域内，因此在显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下拒绝原假设 $H_0$，认为这批元件不合格。