题目

4.若y^3-x^2y=2，求(d^2y)/(dx^2).

4.若$y^{3}-x^{2}y=2$，求$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$.

题目解答

答案

对等式 $y^3 - x^2 y = 2$ 求导得： \[ 3y^2 \frac{dy}{dx} - (2xy + x^2 \frac{dy}{dx}) = 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{3y^2 - x^2} \] 再次求导得： \[ \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{(3y^2 - x^2)(2y + 2x \frac{dy}{dx}) - (2xy)(6y \frac{dy}{dx} - 2x)}{(3y^2 - x^2)^2} \] 代入 $\frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{3y^2 - x^2}$，化简得： \[ \boxed{\frac{2y(9y^4 - 6x^2 y^2 + x^4)}{(3y^2 - x^2)^3}} \] 或等价表示： \[ \boxed{\frac{18y^5 - 12x^2 y^3 + 2x^4 y}{(3y^2 - x^2)^3}} \]

解析

考查要点：本题主要考查隐函数的二阶导数求解，涉及链式法则、乘积法则以及商的导数法则的应用。

解题核心思路：

  1. 第一次求导：对原方程两边关于$x$求导，分离出$\frac{dy}{dx}$的表达式。
  2. 第二次求导：对$\frac{dy}{dx}$再次求导，利用商的导数法则，并将$\frac{dy}{dx}$代入化简。
  3. 代数化简：通过合并同类项、因式分解等步骤，将结果整理为最简形式。

破题关键点：

  • 隐函数求导时需始终将$y$视为$x$的函数。
  • 商的导数法则的应用需准确处理分子和分母的导数。
  • 代数化简过程中需注意符号和系数的正确性。

第一次求导

对原方程$y^3 - x^2 y = 2$两边关于$x$求导：

  • $y^3$的导数：$3y^2 \frac{dy}{dx}$（链式法则）。
  • $-x^2 y$的导数：$-2xy - x^2 \frac{dy}{dx}$（乘积法则）。
  • 右边常数导数：$0$。

整理得：
$3y^2 \frac{dy}{dx} - 2xy - x^2 \frac{dy}{dx} = 0$
提取$\frac{dy}{dx}$：
$\frac{dy}{dx} (3y^2 - x^2) = 2xy \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{3y^2 - x^2}$

第二次求导

对$\frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{3y^2 - x^2}$再次求导，设分子$u = 2xy$，分母$v = 3y^2 - x^2$，根据商的导数法则：
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

计算$u'$

$u' = \frac{d}{dx}(2xy) = 2y + 2x \frac{dy}{dx}$

计算$v'$

$v' = \frac{d}{dx}(3y^2 - x^2) = 6y \frac{dy}{dx} - 2x$

代入商的导数公式

$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{(2y + 2x \frac{dy}{dx})(3y^2 - x^2) - (2xy)(6y \frac{dy}{dx} - 2x)}{(3y^2 - x^2)^2}$

代入$\frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{3y^2 - x^2}$

展开并化简分子：

  1. 展开第一项：
    $(2y + 2x \cdot \frac{2xy}{3y^2 - x^2})(3y^2 - x^2) = 6y^3 - 2x^2 y + \frac{4x^2 y^2}{3y^2 - x^2} \cdot (3y^2 - x^2)$
  2. 展开第二项：
    $-2xy \cdot \left(6y \cdot \frac{2xy}{3y^2 - x^2} - 2x\right) = -2xy \cdot \left(\frac{12xy^2 - 2x(3y^2 - x^2)}{3y^2 - x^2}\right)$
  3. 合并并化简：
    最终分子化简为：
    $2y(9y^4 - 6x^2 y^2 + x^4)$