题目

3.设f(x)存在,求下列函数的二阶导数 dfrac ({d)^2y}(d{x)^2}-|||-(1) =f((x)^2) ;

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查复合函数的二阶导数求解，涉及链式法则和乘积法则的综合应用。

解题核心思路：

  1. 一阶导数：外层函数$f(u)$与内层函数$u=x^2$复合，通过链式法则求导。
  2. 二阶导数：对一阶导数的乘积形式（$2x \cdot f'(x^2)$）应用乘积法则，并对其中的$f'(x^2)$再次使用链式法则。

破题关键点：

  • 正确识别复合结构，明确每一步求导的对象。
  • 分步计算，避免因直接求二阶导数导致的符号或系数错误。

第（1）题

求一阶导数$y'$

根据链式法则，外函数为$f(u)$，内函数为$u=x^2$，则：
$y' = f'(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = f'(x^2) \cdot 2x = 2x f'(x^2)$

求二阶导数$y''$

对$y' = 2x \cdot f'(x^2)$应用乘积法则：
$y'' = \frac{d}{dx}(2x) \cdot f'(x^2) + 2x \cdot \frac{d}{dx}\left(f'(x^2)\right)$

  1. 第一项：$\frac{d}{dx}(2x) = 2$，因此第一项为：
    $2 \cdot f'(x^2) = 2f'(x^2)$

  2. 第二项：对$f'(x^2)$使用链式法则：
    $\frac{d}{dx}\left(f'(x^2)\right) = f''(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = f''(x^2) \cdot 2x$
    因此第二项为：
    $2x \cdot \left(2x f''(x^2)\right) = 4x^2 f''(x^2)$

合并结果

将两部分相加：
$y'' = 2f'(x^2) + 4x^2 f''(x^2)$