13.已知随机变量(X,Y)服从二维正态分布,并且X和Y分别服从正态分布N(1,9)和N(0,16),X和Y的相关系数rho_(xy)=-(1)/(2),设Z=(1)/(3)X+(1)/(2)Y,求X和Z的相关系数rho_(xz).

本题考查二维正态分布的性质、期望、方差、协方差以及相关系数的计算。解题的关键在于利用已知条件求出$X$和$Z$的协方差$\text{Cov}(X, Z)$、$X$的方差$D(X)$和$Z$的方差$D(Z)$，再根据相关系数的定义计算$\rho_{xz}$。

1. 计算$D(X)$、$D(Y)$和$\text{Cov}(X, Y)$：
   • 已知$X\sim N(1, 9)$，根据正态分布$N(\mu, \sigma^2)$的性质，其中$\mu$为均值，$\sigma^2$为方差，可得$D(X) = 9$。
   • 已知$Y\sim N(0, 16)$，同理可得$D(Y) = 16$。
   • 根据相关系数的定义$\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$，可得$\text{Cov}(X, Y) = \rho_{XY} \sqrt{D(X)D(Y)}$。
     将$\rho_{XY} = -\frac{1}{2}$，$D(X) = 9$，$D(Y) = 16$代入上式，可得：
     $\text{Cov}(X, Y) = -\frac{1}{2} \times \sqrt{9\times16}= -\frac{1}{2} \times 12 = -6$。
2. 计算$E(Z)$、$D(Z)$和$\text{Cov}(X, Z)$：
   • 已知$Z = \frac{1}{3}X + \frac{1}{2}Y$，根据期望的线性性质$E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$，可得：
     $E(Z) = \frac{1}{3}E(X) + \frac{1}{2}E(Y)$。
     因为$X\sim N(1, 9)$，所以$E(X) = 1$；$Y\sim N(0, 16)$，所以$E(Y) = 0$。
     将$E(X) = 1$，$E(Y) = 0$代入上式，可得：
     $E(Z) = \frac{1}{3} \times 1 + \frac{1}{2} \times 0 = \frac{1}{3}$。
   • 根据方差的性质$D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2ab\text{Cov}(X, Y)$，可得：
     $D(Z) = \left(\frac{1}{3}\right)^2D(X) + \left(\frac{1}{2}\right)^2D(Y) + 2 \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \text{Cov}(X, Y)$。
     将$D(X) = 9$，$D(Y) = 16$，$\text{Cov}(X, Y) = -6$代入上式，可得：
     $\begin{align*}D(Z) &= \frac{1}{9} \times 9 + \frac{1}{4} \times 16 + \frac{1}{3} \times (-6)\\&= 1 + 4 - 2\\&= 3\end{align*}$
   • 根据协方差的性质$\text{Cov}(X, aX + bY) = aD(X) + b\text{Cov}(X, Y)$，可得：
     $\text{Cov}(X, Z) = \text{Cov}(X, \frac{1}{3}X + \frac{1}{2}Y) = \frac{1}{3}D(X) + \frac{1}{2}\text{Cov}(X, Y)$。
     将$D(X) = 9$，$\text{Cov}(X, Y) = -6$代入上式，可得：
     $\text{Cov}(X, Z) = \frac{1}{3} \times 9 + \frac{1}{2} \times (-6) = 3 - 3 = 0$。
3. 计算$\rho_{xz}$：
   根据相关系数的定义$\rho_{XZ} = \frac{\text{Cov}(X, Z)}{\sqrt{D(X)D(Z)}}$，将$\text{Cov}(X, Z) = 0$，$D(X) = 9$，$D(Z) = 3$代入上式，可得：
   $\rho_{XZ} = \frac{0}{\sqrt{9\times3}} = \frac{0}{3\sqrt{3}} = 0$。