题目

5.【证明题】设函数f(x)在[a,b]上连续，p,q为正数，证明：至少存在一点xiin[a,b]使得pf(a)+qf(b)=(p+q)f(xi).

5.【证明题】设函数f(x)在[a,b]上连续，p,q为正数，证明：至少存在一点$\xi\in[a,b]$使得pf(a)+qf(b)=(p+q)f($\xi$).

题目解答

答案

定义辅助函数 $ g(x) = (p+q)f(x) - (pf(a) + qf(b)) $，其中 $ f(x) $ 在 $[a, b]$ 上连续，$ p, q > 0 $。 计算得： \[ g(a) = q(f(a) - f(b)), \quad g(b) = p(f(b) - f(a)) \] 若 $ f(a) = f(b) $，则 $ g(a) = g(b) = 0 $，取 $\xi = a$ 或 $\xi = b$ 即可。 若 $ f(a) \neq f(b) $，不妨设 $ f(a) < f(b) $，则 $ g(a) < 0 $，$ g(b) > 0 $。 由介值定理，存在 $\xi \in (a, b)$ 使 $ g(\xi) = 0 $，即： \[ (p+q)f(\xi) = pf(a) + qf(b) \] 综上，至少存在一点 $\xi \in [a, b]$ 满足条件。 \[ \boxed{\text{得证}} \]

解析

考查要点：本题主要考查连续函数的介值定理的应用，以及通过构造辅助函数解决存在性问题的能力。

解题核心思路：

  1. 构造辅助函数，将原问题转化为寻找该函数零点的问题。
  2. 分类讨论：当端点函数值相等时直接得解；当端点函数值不等时，利用介值定理保证零点存在。

破题关键点：

  • 辅助函数的设计需体现原等式结构，通过线性组合消去参数。
  • 介值定理的条件验证：确保辅助函数在区间上连续且端点函数值异号。

步骤1：构造辅助函数
定义辅助函数：
$g(x) = (p+q)f(x) - [pf(a) + qf(b)]$
由于$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$p,q>0$，故$g(x)$在$[a,b]$上连续。

步骤2：计算端点函数值

  • 当$x=a$时：
    $g(a) = (p+q)f(a) - [pf(a) + qf(b)] = q[f(a) - f(b)]$
  • 当$x=b$时：
    $g(b) = (p+q)f(b) - [pf(a) + qf(b)] = p[f(b) - f(a)]$

步骤3：分类讨论

  1. 若$f(a) = f(b)$：
    此时$g(a) = g(b) = 0$，直接取$\xi = a$或$\xi = b$，满足等式。

  2. 若$f(a) \neq f(b)$：

    • 不妨设$f(a) < f(b)$，则$g(a) = q[f(a)-f(b)] < 0$，$g(b) = p[f(b)-f(a)] > 0$。
    • 根据介值定理，存在$\xi \in (a,b)$使得$g(\xi) = 0$，即：
      $(p+q)f(\xi) = pf(a) + qf(b)$

结论：无论$f(a)$与$f(b)$是否相等，均存在$\xi \in [a,b]$满足条件。