4.设总体 sim N((1,3)^2) ,X1,X2,···,X9为来自总体X的一个样本,则 () 。-|||-A. dfrac (overline {X)-1}(3)sim N(0,1) B. dfrac (overline {X)-1}(1)sim N(0,1)-|||-C. dfrac (overline {X)-1}(9)sim N(0,1) D. dfrac (overline {X)-1}(sqrt {3)}sim N(0,1)

题题目主要考察了正态分布样本均值的分布以及标准正态分布的转化知识点。

题目分析

已知总体$X \sim N(1, 3^2)$，即总体均值$\mu = 1$，总体方差$\sigma^2 = 3^2 = 9$，样本容量$n = 9$。需要判断样本均值$\overline{X}$的标准化形式是否服从标准正态分布$N(0,1)$。

关键知识点

1. 样本均值的分布：若总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则样本均值$\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$。
2. 标准化转化：对于正态分布$Y \sim N(\mu, \sigma^2)$，其标准化变量为$\frac{Y - \mu}{\sigma} \sim N(0,1)$。

计算过程

1. 样本均值的均值与方差：
   总体均值$\mu = 1$，总体方差$\sigma^2 = 9$，样本容量$n = 9$，则：
   $\overline{X} \sim N\left(1, \frac{9}{9}\right) = N(1, 1^2)$
   即$\overline{X}$的均值为$1$，方差为$1$，标准差为$\sqrt{1} = 1$。

2. 标准化变量：
   根据标准化公式，$\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma_{\overline{X}}} \sim N(0,1)$，代入$\mu = 1$和$\sigma_{\overline{X}} = 1$：
   $\frac{\overline{X} - 1}{1} \sim N(0,1)$

选项判断

• A：$\frac{\overline{X} - 1}{3}$，分母为总体标准差$\sigma = 3$，而非样本均值的标准差$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1$，错误。
• B：$\frac{\overline{X} - 1}{1}$，符合标准化结果，正确。
• C：$\frac{\overline{X} - 1}{9}$，分母为样本容量$n = 9$，无依据，错误。
• D：$\frac{\overline{X} - 1}{\sqrt{3}}$，分母为$\sqrt{3}$，非样本均值的标准差，错误。