题目

来自正态总体 X sim N(mu, 0.9^2) 容量为 9 的简单随机样本，测得样本均值 overline(x) = 5，则未知参数 mu 的置信度为 0.95 的置信区间为（）（其中 z_(0.025) = 1.96，t_(0.05)(8) = 2.30）

来自正态总体 $X \sim N(\mu, 0.9^2)$ 容量为 9 的简单随机样本，测得样本均值 $\overline{x} = 5$，则未知参数 $\mu$ 的置信度为 0.95 的置信区间为（） （其中 $z_{0.025} = 1.96$，$t_{0.05}(8) = 2.30$）

题目解答

答案

我们来逐步分析并解答这个题目： --- ### **题目信息整理：** - 总体分布：$ X \sim N(\mu, 0.9^2) $，即正态分布，标准差为 $ \sigma = 0.9 $。 - 样本容量：$ n = 9 $ - 样本均值：$ \overline{x} = 5 $ - 置信水平：$ 1 - \alpha = 0.95 $，即 $ \alpha = 0.05 $ - 给出的临界值： - $ z_{0.025} = 1.96 $：这是标准正态分布的上侧 2.5% 分位点 - $ t_{0.05}(8) = 2.30 $：这是自由度为 8 的 t 分布的上侧 5% 分位点 --- ### **第一步：判断使用哪种分布** 由于总体标准差 $ \sigma = 0.9 $ 已知，且总体是正态分布，因此我们使用 **标准正态分布（Z 分布）** 来构造置信区间。 --- ### **第二步：置信区间公式** 对于正态总体，已知标准差 $ \sigma $，样本均值 $ \overline{x} $ 的置信区间为： $$ \overline{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$ 代入数据： - $ \overline{x} = 5 $ - $ z_{\alpha/2} = z_{0.025} = 1.96 $ - $ \sigma = 0.9 $ - $ n = 9 $ 计算标准误差： $$ \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0.9}{\sqrt{9}} = \frac{0.9}{3} = 0.3 $$ 计算置信区间： $$ 5 \pm 1.96 \times 0.3 = 5 \pm 0.588 $$ --- ### **第三步：写出置信区间** $$ \text{置信区间为：}(5 - 0.588,\ 5 + 0.588) = (4.412,\ 5.588) $$ --- ### **最终答案：** $$ \boxed{(4.412,\ 5.588)} $$ 这是在置信水平为 0.95 下，未知参数 $ \mu $ 的置信区间。

解析

本题考查正态总体在总体方差已知的的情况下，未知参数 $\mu$ 的置信区间的计算。解题思路如下：

  1. 首先判断使用的分布：因为总体服从正态分布 $X \sim N(\(\mu, 0.9^2)$，且总体标准差 $\sigma = 0.9$ 已知，所以使用标准正态分布（Z 分布）来构造置信区间。
  2. 确定置信区间公式：对于正态总体，已知标准差 $\sigma$ ，样本均值 $\overline{x}$ 的置信区间为 $\overline{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
  3. 计算相关参数：
    • 已知置信水平为 $1 - \alpha = 0.95$，则 $\alpha = 0.05$，所以 $\alpha/2=0.025$，题目中已给出 $z_{0.025} = 1.96$。
    • 样本均值 $\overline{x} = 5$，总体标准差 $\sigma = 0.9$，样本容量 $n = 9$。
  4. 计算标准误差：根据公式 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，将 $\sigma = 0.9$，$n = 9$ 代入可得：
    • $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{0.9}{\sqrt{9}}=\frac{0.9}{3} = 0.3$。
  5. 计算置信区间：将 $\overline{x} = 5$，$z_{0.025} = 1.96$，$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 0.3$ 代入置信区间公式 $\overline{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 可得：
    • $5 \pm 1.96\times0.3=5 \pm 0.588$。
  6. 得出置信区间：
    • 下限为 $5 - 0.588 = 4.412$，上限为 $5 + 0.588 = 5.588$，所以置信区间为 $(4.412, 5.588)$。