题目

判断题（共4题，40.0分）7.（10.0分）同时掷两枚硬币和两颗骰子，用X和Y分别表示出现正面的硬币数和出现6点的骰子数，则X与Y独立.A 对B 错

判断题（共4题，40.0分） 7.（10.0分）同时掷两枚硬币和两颗骰子，用X和Y分别表示出现正面的硬币数和出现6点的骰子数，则X与Y独立. A 对 B 错

题目解答

答案

设 $X$ 表示出现正面的硬币数，$Y$ 表示出现6点的骰子数。 - $X$ 的可能取值为0、1、2，对应概率分别为： $P(X=0) = \frac{1}{4}$，$P(X=1) = \frac{1}{2}$，$P(X=2) = \frac{1}{4}$。 - $Y$ 的可能取值为0、1、2，对应概率分别为： $P(Y=0) = \frac{25}{36}$，$P(Y=1) = \frac{5}{18}$，$P(Y=2) = \frac{1}{36}$。 接下来，计算联合概率 $P(X=i, Y=j)$（$i, j = 0, 1, 2$）： - $P(X=0, Y=0) = \frac{1}{4} \times \frac{25}{36} = \frac{25}{144}$， - $P(X=0, Y=1) = \frac{1}{4} \times \frac{5}{18} = \frac{5}{72}$， - $P(X=0, Y=2) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{36} = \frac{1}{144}$， - $P(X=1, Y=0) = \frac{1}{2} \times \frac{25}{36} = \frac{25}{72}$， - $P(X=1, Y=1) = \frac{1}{2} \times \frac{5}{18} = \frac{5}{36}$， - $P(X=1, Y=2) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{36} = \frac{1}{72}$， - $P(X=2, Y=0) = \frac{1}{4} \times \frac{25}{36} = \frac{25}{144}$， - $P(X=2, Y=1) = \frac{1}{4} \times \frac{5}{18} = \frac{5}{72}$， - $P(X=2, Y=2) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{36} = \frac{1}{144}$。 观察发现，对于所有 $i, j$，均有 $P(X=i, Y=j) = P(X=i) \times P(Y=j)$。 因此，$X$ 与 $Y$ 独立。 答案：A 对。

解析

本题考查随机变量独立性的判断。解题思路是先分别求出随机变量 $X$（出现正面的硬币数）和 $Y$（出现 6 点的骰子数）各自的概率分布，再计算它们的联合概率分布，最后验证对于所有可能的取值 $i$ 和 $j$，是否都满足 $P(X = i, Y = j)=P(X = i)\times P(Y = j)$，若满足则 $X$ 与 $Y$ 独立，反之则不独立。

1. 计算 $X$ 的概率分布

掷两枚硬币，每枚硬币出现正面的概率为 $\frac{1}{2}$，出现反面的概率也为 $\frac{1}{2}$。

  • $X = 0$ 表示两枚硬币都出现反面，根据独立事件概率乘法公式，$P(X = 0)=\left(\frac{1}{2}\right)\times\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}$。
  • $X = 1$ 表示一枚硬币出现正面，一枚硬币出现反面，有两种情况（第一枚正面第二枚反面或第一枚反面第二枚正面），所以 $P(X = 1)=C_{2}^1\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=2\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。
  • $X = 2$ 表示两枚硬币都出现正面，$P(X = 2)=\left(\frac{1}{2}\right)\times\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}$。

2. 计算 $Y$ 的概率分布

掷两颗骰子，每颗骰子出现 6 点的概率为 $\frac{1}{6}$，不出现 6 点的概率为 $\frac{5}{6}$。

  • $Y = 0$ 表示两颗骰子都不出现 6 点，$P(Y = 0)=\left(\frac{5}{6}\right)\times\left(\frac{5}{6}\right)=\frac{25}{36}$。
  • $Y = 1$ 表示一颗骰子出现 6 点，另一颗骰子不出现 6 点，有两种情况，所以 $P(Y = 1)=C_{2}^1\times\frac{1}{6}\times\frac{5}{6}=2\times\frac{1}{6}\times\frac{5}{6}=\frac{5}{18}$。
  • $Y = 2$ 表示两颗骰子都出现 6 点，$P(Y = 2)=\left(\frac{1}{6}\right)\times\left(\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{36}$。

3. 计算联合概率 $P(X = i, Y = j)$

因为掷硬币和掷骰子这两个事件是相互独立的，所以 $P(X = i, Y = j)=P(X = i)\times P(Y = j)$。

  • $P(X = 0, Y = 0)=P(X = 0)\times P(Y = 0)=\frac{1}{4}\times\frac{25}{36}=\frac{25}{144}$。
  • $P(X = 0, Y = 1)=P(X = 0)\times P(Y = 1)=\frac{1}{4}\times\frac{5}{18}=\frac{5}{72}$。
  • $P(X = 0, Y = 2)=P(X = 0)\times P(Y = 2)=\frac{1}{4}\times\frac{1}{36}=\frac{1}{144}$。
  • $P(X = 1, Y = 0)=P(X = 1)\times P(Y = 0)=\frac{1}{2}\times\frac{25}{36}=\frac{25}{72}$。
  • $P(X = 1, Y = 1)=P(X = 1)\times P(Y = 1)=\frac{1}{2}\times\frac{5}{18}=\frac{5}{36}$。
  • $P(X = 1, Y = 2)=P(X = 1)\times P(Y = 2)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{36}=\frac{1}{72}$。
  • $P(X = 2, Y = 0)=P(X = 2)\times P(Y = 0)=\frac{1}{4}\times\frac{25}{36}=\frac{25}{144}$。
  • $P(X = 2, Y = 1)=P(X = 2)\times P(Y = 1)=\frac{1}{4}\times\frac{5}{18}=\frac{5}{72}$。
  • $P(X = 2, Y = 2)=P(X = 2)\times P(Y = 2)=\frac{1}{4}\times\frac{1}{36}=\frac{1}{144}$。

4. 判断独立性

通过上述计算可知，对于所有 $i,j = 0,1,2$，都有 $P(X = i, Y = j)=P(X = i)\times P(Y = j)$，所以 $X$ 与 $Y$ 独立。