弦振动方程是历史上数学家在研究小提琴弦的振动规律的过程建立起来的振动方程是一类A. 常微分方程B. 偏微分方程C. 代数方程D. 差分方程

本题考查常微分方程、偏微分方程、代数方程和差分方程的概念，解题思路是根据弦振动方程的特点，结合各类方程的定义来判断弦振动方程所属的类型。

各类方程的定义

• 常微分方程：含有未知函数的导数或微分的方程，且未知函数是一元函数。一般形式为$F(x,y,y',\cdots,y^{(n)}) = 0$，其中$x$是自变量，$y$是关于$x$的一元函数。
• 偏微分方程：含有未知多元函数的偏导数的方程。例如对于二元函数$u(x,y)$，其偏微分方程可能包含$\frac{\partial u}{\partial x}$，$\frac{\partial u}{\partial y}$，$\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$，$\frac{\partial^{2} u}{\partial x\partial y}$，$\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}$等偏导数。
• 代数方程：由多项式组成的方程，方程中只含有未知量的有限次代数运算（加、减、乘、除、乘方），不含有未知量的导数或微分。例如$ax + b = 0$（$a\neq0$），$x^{2}+2x + 1 = 0$等。
• 差分方程：含有未知函数差分的方程，差分是指函数在离散点上的差值。例如$y_{n + 1}-y_{n}=f(n)$，其中$y_{n}$表示函数在离散点$n$处的值。

弦振动方程的特点

弦振动方程的一般形式为$\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=a^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$，其中$u(x,t)$是弦上各点在$t$时刻的位移，$x$是弦上点的位置坐标，$a$是常数。该方程中含有未知二元函数$u(x,t)$的偏导数$\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}$和$\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$。

判断弦振动方程的类型

根据偏微分方程的定义，由于弦振动方程含有未知多元函数的偏导数，所以弦振动方程是偏微分方程，而不是常微分方程（未知函数不是一元函数）、代数方程（含有偏导数）和差分方程（不含有未知函数的差分）。