下面结论正确的是()A. 设lim _(n arrow infty) x_(n)=0，lim _(n arrow infty) y_(n)=infty，则lim _(n arrow infty)(x_(n) cdot y_(n))=0B. 设lim _(n arrow infty) x_(n)=0，lim _(n arrow infty) y_(n)=0，则lim _(n arrow infty) (x_(n))/(y_(n))一定不存在C. 设lim _(n arrow infty) x_(n)=0，lim _(n arrow infty) y_(n)=infty，则lim _(n arrow infty)(x_(n) cdot y_(n))一定不存在D. 设lim _(n arrow infty) x_(n)=0，lim _(n arrow infty) y_(n)=0，则lim _(n arrow infty)(x_(n) cdot y_(n))=0
下面结论正确的是()
A. 设$\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$，$\lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=\infty$，则$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n} \cdot y_{n}\right)=0$
B. 设$\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$，$\lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=0$，则$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}$一定不存在
C. 设$\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$，$\lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=\infty$，则$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n} \cdot y_{n}\right)$一定不存在
D. 设$\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$，$\lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=0$，则$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n} \cdot y_{n}\right)=0$
题目解答
答案
答案：D
解析：
A. 错误
例如，$x_n = \frac{1}{n}$，$y_n = n^2$，则 $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$，$\lim_{n \to \infty} y_n = \infty$，但 $\lim_{n \to \infty} (x_n \cdot y_n) = \lim_{n \to \infty} n = \infty$。
B. 错误
例如，$x_n = \frac{1}{n}$，$y_n = \frac{1}{n}$，则 $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$，$\lim_{n \to \infty} y_n = 0$，但 $\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \lim_{n \to \infty} 1 = 1$。
C. 错误
例如，$x_n = \frac{1}{n}$，$y_n = n$，则 $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$，$\lim_{n \to \infty} y_n = \infty$，但 $\lim_{n \to \infty} (x_n \cdot y_n) = \lim_{n \to \infty} 1 = 1$。
D. 正确
由极限的乘法法则，$\lim_{n \to \infty} (x_n \cdot y_n) = \left( \lim_{n \to \infty} x_n \right) \cdot \left( \lim_{n \to \infty} y_n \right) = 0 \cdot 0 = 0$。
结论：
正确选项为 $\boxed{D}$。