设随机变量 X 服从参数为 theta 的指数分布. 若 E(X^2) = 72, 则 theta = ( ).A. -6B. 6C. 6sqrt(2)D. 3

本题考查指数分布的期望和方差公式，以及期望和方差之间的关系，解题思路是先明确指数分布的期望和方差公式，再利用期望和方差的关系求出$E(X^2)$关于$\theta$的表达式，最后根据已知条件求解$\theta$。

1. 明确指数分布的期望和方差公式：
   若随机变量$X$服从参数为$\theta$的指数分布，其概率密度函数为$f(x)=\begin{cases}\theta e^{-\theta x}, & x\geq0 \\ 0, & x\lt0\end{cases}$，则期望$E(X)=\frac{1}{\theta}$，方差$D(X)=\frac{1}{\theta^2}$。
2. 利用期望和方差的关系求出$E(X^2)$关于$\theta$的表达式：
   根据方差的定义$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$，移项可得$E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2$。
   将$E(X)=\frac{1}{\theta}$，$D(X)=\frac{1}{\theta^2}$代入上式，得到$E(X^2)=\frac{1}{\theta^2}+(\frac{1}{\theta})^2=\frac{1}{\theta^2}+\frac{1}{\theta^2}=\frac{2}{\theta^2}$。
3. 根据已知条件求解$\theta$：
   已知$E(X^2) = 72$，即$\frac{2}{\theta^2}=72$。
   等式两边同时乘以$\theta^2$得到$2 = 72\theta^2$。
   等式两边再同时除以$72$得到$\theta^2=\frac{2}{72}=\frac{1}{36}$。
   对$\theta^2=\frac{1}{36}$两边开平方，可得$\theta=\pm\frac{1}{6}$。
   因为指数分布的参数$\theta\gt0$，所以舍去$\theta=-\frac{1}{6}$，得到$\theta=\frac{1}{6}$的倒数，即$\theta = 6$。