设I=iintlimits_(D)sqrt(xy+4)dsigma，其中D=(x,y)mid 0le xle 2,0le yle 2，则利用二重积分的性质估计可得（）.A. 4le Ile 8sqrt(2)B. 2le Ile 4sqrt(2)C. 4le Ile 4sqrt(2)D. 8le Ile 8sqrt(2)

本题考查二重积分的估值性质。解题思路是先找出被积函数在积分区域上的最大值 $M$ 和最小值 $m$，再计算积分区域 $D$ 的面积 $S$，最后根据二重积分的估值定理 $mS\leqslant\iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma\leqslant MS$ 来估计积分 $I$ 的取值范围。

步骤一：求被积函数 $f(x,y)=\sqrt{xy + 4}$ 在积分区域 $D$ 上的最大值 $M$ 和最小值 $m$

• 求最小值 $m$：
  已知积分区域 $D=\{(x,y)\mid 0\leqslant x\leqslant 2,0\leqslant y\leqslant 2\}$，对于函数 $f(x,y)=\sqrt{xy + 4}$，因为 $x\geqslant0$，$y\geqslant0$，所以当 $x = 0$ 且 $y = 0$ 时，$xy$ 取得最小值 $0$，此时 $f(x,y)$ 取得最小值 $m=\sqrt{0\times0 + 4}=\sqrt{4}=2$。
• 求最大值 $M$：
  当 $x = 2$ 且 $y = 2$ 时，$xy$ 取得最大值 $2\times2 = 4$，此时 $f(x,y)$ 取得最大值 $M=\sqrt{2\times2 + 4}=\sqrt{4 + 4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。

步骤二：计算积分区域 $D$ 的面积 $S$

积分区域 $D$ 是一个边长为 $2$ 的正方形，根据正方形面积公式 $S = a^2$（其中 $a$ 为边长），可得 $S = 2\times2 = 4$。

步骤三：根据二重积分的估值定理估计积分 $I$ 的取值范围

由二重积分的估值定理 $mS\leqslant\iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma\leqslant MS$，将 $m = 2$，$M = 2\sqrt{2}$，$S = 4$ 代入可得：
$2\times4\leqslant\iint\limits_{D}\sqrt{xy + 4}d\sigma\leqslant 2\sqrt{2}\times4$
即 $8\leqslant I\leqslant 8\sqrt{2}$。