求极限lim_(z to 0) (overline(z))/(z).A. -1B. 0C. 1D. 极限不存在

本题考查复变函数极限的知识。解题的关键思路是通过不同路径趋近于$z = 0$来判断极限是否存在。若沿不同路径趋近于某一点时，函数的极限值不同，则该函数在该点的极限不存在。

设$z=x + iy$，则$\overline{z}=x - iy$，那么$\frac{\overline{z}}{z}=\frac{x - iy}{x + iy}$。为了便于分析，我们将其分子分母同时乘以$x - iy$进行化简：
$\begin{align*}\frac{\overline{z}}{z}&=\frac{(x - iy)(x - iy)}{(x + iy)(x - iy)}\\&=\frac{x^2 - 2ixy - y^2}{x^2 + y^2}\\&=\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}-i\frac{2xy}{x^2 + y^2}\end{align*}$

接下来，我们通过不同路径趋近于$z = 0$（即$x\to0$且$y\to0$）来判断极限：

• 路径一：沿$x$轴趋近于$0$，此时$y = 0$
  将$y = 0$代入$\frac{\overline{z}}{z}=\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}-i\frac{2xy}{x^2 + y^2}$可得：
  $\lim_{x \to 0} \frac{\overline{z}}{z}=\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 0^2}{x^2 + 0^2}-i\frac{2x\cdot0}{x^2 + 0^2}=\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2}=1$
• 路径二：沿$y$轴趋近于$0$，此时$x = 0$
  将$x = 0$代入$\frac{\overline{z}}{z}=\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}-i\frac{2xy}{x^2 + y^2}$可得：
  $\lim_{y \to 0} \frac{\overline{z}}{z}=\lim_{y \to 0} \frac{0^2 - y^2}{0^2 + y^2}-i\frac{2\cdot0\cdot y}{0^2 + y^2}=\lim_{y \to 0} \frac{-y^2}{y^2}=-1$

由于沿$x$轴和$y$轴趋近于$z = 0$时，函数$\frac{\overline{z}}{z}$的极限值不同，分别为$1$和$-1$，所以$\lim_{z \to 0} \frac{\overline{z}}{z}$极限不存在。