随机变量xi,eta都服从二项分布：xi sim B(2,p)，eta sim B(4,p)，已知Pxi geq 1 = (5)/(9)，则Peta geq 1 = ( )。A. (65)/(81)B. (80)/(81)C. (56)/(81)D. 1

本题考查二项分布的概率计算。解题的关键思路是先根据已知条件求出参数$p$的值，再利用求出的$p$计算$P\{\eta \geq 1\}$。

步骤一：根据$\xi$的分布和$P\{\xi \geq 1\}$求出$p$的值

已知$\xi \sim B(2,p)$，根据二项分布的概率公式$P(X=k)=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$（其中$n$是试验次数，$k$是成功次数，$p$是每次试验成功的概率），可得$P(\xi = 0)=C_{2}^{0}p^{0}(1 - p)^{2}=(1 - p)^{2}$。
因为$P\{\xi \geq 1\} = \frac{5}{9}$，且$P\{\xi \geq 1\}=1 - P(\xi = 0)$，所以$1 - P(\xi = 0)=\frac{5}{9}$，即$1 - (1 - p)^{2}=\frac{5}{9}$。
对$1 - (1 - p)^{2}=\frac{5}{9}$进行求解：
$\begin{align*}(1 - p)^{2}&=1 - \frac{5}{9}\\(1 - p)^{2}&=\frac{4}{9}\\1 - p&=\pm\frac{2}{3}\end{align*}$
当$1 - p = \frac{2}{3}$时，$p = 1 - \frac{2}{3}=\frac{1}{3}$；当$1 - p = -\frac{2}{3}$时，$p = 1 + \frac{2}{3}=\frac{5}{3}$，由于概率$p$的取值范围是$[0,1]$，所以$p = \frac{5}{3}$舍去，即$p = \frac{1}{3}$。

步骤二：根据$p$的值计算$P\{\eta \geq 1\}$

已知$\eta \sim B(4,p)$，且$p = \frac{1}{3}$，同理可得$P(\eta = 0)=C_{4}^{0}(\frac{1}{3})^{0}(1 - \frac{1}{3})^{4}=(\frac{2}{3})^{4}=\frac{16}{81}$。
因为$P\{\eta \geq 1\}=1 - P(\eta = 0)$，所以$P\{\eta \geq 1\}=1 - \frac{16}{81}=\frac{65}{81}$。