题目
7.(填空题，8分)已知一批零件的长度X（单位：cm）服从正态分布N(μ，1)，从中随机的抽取16个零件，得到长度的平均值为40(cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是(____，____)(保留两位小数，u_(0.025)=1.96)(1)39.41(2)40.49
7.(填空题，8分)
已知一批零件的长度X（单位：cm）服从正态分布N(μ，1)，从中随机的抽取16个零件，得到长度的平均值为40(cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是(____，____)
(保留两位小数，$u_{0.025}=1.96$)
(1)
39.41
(2)
40.49
题目解答
答案
已知零件长度 $X$ 服从正态分布 $N(\mu, 1)$，样本均值 $\overline{x} = 40$，样本大小 $n = 16$，置信度为 0.95，对应双侧分位数 $u_{0.025} = 1.96$。
置信区间公式为：
\[
\left( \overline{x} - u_{0.025} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{x} + u_{0.025} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)
\]
代入数值计算：
\[
\left( 40 - 1.96 \times \frac{1}{4}, 40 + 1.96 \times \frac{1}{4} \right) = (39.51, 40.49)
\]
答案：$\boxed{(39.51, 40.49)}$
解析
步骤 1：确定置信区间的公式
根据题目，零件长度 $X$ 服从正态分布 $N(\mu, 1)$，样本均值 $\overline{x} = 40$，样本大小 $n = 16$，置信度为 0.95，对应双侧分位数 $u_{0.025} = 1.96$。置信区间公式为： \[ \left( \overline{x} - u_{0.025} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{x} + u_{0.025} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) \] 其中，$\sigma$ 是总体标准差，对于正态分布 $N(\mu, 1)$，$\sigma = 1$。
步骤 2：代入数值计算
代入数值计算： \[ \left( 40 - 1.96 \times \frac{1}{\sqrt{16}}, 40 + 1.96 \times \frac{1}{\sqrt{16}} \right) = \left( 40 - 1.96 \times \frac{1}{4}, 40 + 1.96 \times \frac{1}{4} \right) \] \[ = (40 - 0.49, 40 + 0.49) = (39.51, 40.49) \]
根据题目，零件长度 $X$ 服从正态分布 $N(\mu, 1)$，样本均值 $\overline{x} = 40$，样本大小 $n = 16$，置信度为 0.95，对应双侧分位数 $u_{0.025} = 1.96$。置信区间公式为： \[ \left( \overline{x} - u_{0.025} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{x} + u_{0.025} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) \] 其中，$\sigma$ 是总体标准差，对于正态分布 $N(\mu, 1)$，$\sigma = 1$。
步骤 2：代入数值计算
代入数值计算： \[ \left( 40 - 1.96 \times \frac{1}{\sqrt{16}}, 40 + 1.96 \times \frac{1}{\sqrt{16}} \right) = \left( 40 - 1.96 \times \frac{1}{4}, 40 + 1.96 \times \frac{1}{4} \right) \] \[ = (40 - 0.49, 40 + 0.49) = (39.51, 40.49) \]