题目

2.总体Xsim N(mu,sigma^2)， sigma^2 已知，问样本容量n取多大时才能保证μ的置信水平为95%的置信区间的长度不大于k.

2.总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，$ \sigma^{2}$ 已知，问样本容量n取多大时才能保证μ的置信水平为95%的置信区间的长度不大于k.

题目解答

答案

根据题意，总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，且 $\sigma^2$ 已知。对于置信水平为 95% 的置信区间，其形式为：
$\left[ \bar{X} - u_{0.975} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{X} + u_{0.975} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right]$
其中 $u_{0.975} = 1.96$。该区间的长度为：
$L = 2u_{0.975} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2 \times 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{3.92\sigma}{\sqrt{n}}$
要使 $L \leq k$，需满足：
$\frac{3.92\sigma}{\sqrt{n}} \leq k \implies \sqrt{n} \geq \frac{3.92\sigma}{k} \implies n \geq \left( \frac{3.92\sigma}{k} \right)^2$
因此，样本容量 $n$ 至少应取 $\left( \frac{3.92\sigma}{k} \right)^2$。

答案：
样本容量 $n$ 应满足 $n \geq \left( \frac{3.92\sigma}{k} \right)^2$。

解析

本题考查正态总体均值在方差已知情况下置信区间的计算以及根据置信区间长度要求确定样本容量。解题思路如下：

  1. 首先明确当总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$且$\sigma^{2}$已知时，$\mu$的置信水平为$1 - \alpha$的置信区间公式。对于置信水平为$95\%$，即$1-\alpha = 0.95$，那么$\alpha=0.05$，$\frac{\alpha}{2}=0.025$，$1 - \frac{\alpha}{2}=0.975$。此时$\mu$的置信区间为$\left[ \bar{X} - u_{1 - \frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{X} + u_{1 - \frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right]$，其中$u_{1 - \frac{\alpha}{2}}$是标准正态分布的上$\frac{\alpha}{2}$分位点，这里$u_{0.975} = 1.96$。
  2. 然后计算该置信区间的长度$L$。根据区间长度的定义，用区间的上限减去下限可得：
    • $L=\left(\bar{X} + u_{0.975} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)-\left(\bar{X} - u_{0.975} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$
    • 去括号得$L=\bar{X} + u_{0.975} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}-\bar{X} + u_{0.975} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
    • 合并同类项得$L = 2u_{0.975} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
    • 把$u_{0.975} = 1.96$代入，得到$L = 2\times1.96\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{3.92\sigma}{\sqrt{n}}$
  3. 最后根据置信区间长度不大于$k$这一条件来确定样本容量$n$的取值范围。
    • 已知$L\leq k$，即$\frac{3.92\sigma}{\sqrt{n}}\leq k$。
    • 因为$n>0$，不等式两边同时乘以$\sqrt{n}$，不等号方向不变，得到$3.92\sigma\leq k\sqrt{n}$。
    • 再将不等式两边同时除以$k$（$k>0$），不等号方向不变，得到$\sqrt{n}\geq\frac{3.92\sigma}{k}$。
    • 不等式两边同时平方，不等号方向不变，得到$n\geq\left(\frac{3.92\sigma}{k}\right)^2$。