题目
[4.6]设总体X服从几何分布 X=k =p((1-p))^k-1 =1, 2,···又x1,x1,x1,x,是n是来自-|||-X的样本值,则p与EX的最大似然估计分别为多少?
题目解答
答案
解析
步骤 1：写出似然函数
似然函数 $L(p)$ 是概率密度函数关于参数 $p$ 的函数，对于给定的样本值 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，似然函数为：
$$
L(p) = \prod_{i=1}^{n} P\{ X=x_i \} = \prod_{i=1}^{n} p(1-p)^{x_i-1} = p^n (1-p)^{\sum_{i=1}^{n} (x_i-1)}
$$
步骤 2：对数似然函数
为了简化计算，我们对似然函数取对数，得到对数似然函数：
$$
\ln L(p) = n \ln p + \left( \sum_{i=1}^{n} (x_i-1) \right) \ln (1-p)
$$
步骤 3：求导并求解
对对数似然函数关于 $p$ 求导，并令导数等于0，求解 $p$ 的最大似然估计值：
$$
\frac{d \ln L(p)}{dp} = \frac{n}{p} - \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i-1)}{1-p} = 0
$$
解得：
$$
p = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} x_i}
$$
步骤 4：计算 $EX$ 的最大似然估计
由于 $EX = \frac{1}{p}$，根据最大似然估计的不变性，$EX$ 的最大似然估计为：
$$
\hat{EX} = \frac{1}{\hat{p}} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} = \overline{X}
$$
似然函数 $L(p)$ 是概率密度函数关于参数 $p$ 的函数，对于给定的样本值 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，似然函数为：
$$
L(p) = \prod_{i=1}^{n} P\{ X=x_i \} = \prod_{i=1}^{n} p(1-p)^{x_i-1} = p^n (1-p)^{\sum_{i=1}^{n} (x_i-1)}
$$
步骤 2：对数似然函数
为了简化计算，我们对似然函数取对数，得到对数似然函数：
$$
\ln L(p) = n \ln p + \left( \sum_{i=1}^{n} (x_i-1) \right) \ln (1-p)
$$
步骤 3：求导并求解
对对数似然函数关于 $p$ 求导，并令导数等于0，求解 $p$ 的最大似然估计值：
$$
\frac{d \ln L(p)}{dp} = \frac{n}{p} - \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i-1)}{1-p} = 0
$$
解得：
$$
p = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} x_i}
$$
步骤 4：计算 $EX$ 的最大似然估计
由于 $EX = \frac{1}{p}$，根据最大似然估计的不变性，$EX$ 的最大似然估计为：
$$
\hat{EX} = \frac{1}{\hat{p}} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} = \overline{X}
$$