题目

知道随机变量的分布律怎么求D(x)5设离散型随机变量X的分布律为:-|||-X -1 0 1 3-|||-P 0.4 0.1 0.2 0.3-|||-求: (X).

知道随机变量的分布律怎么求D(x)

题目解答

答案

用方差的公式求：
D(x)=E(x^2)-(EX)^2
=(1*0.4+0*0.1+1*0.2+9*0.3)-(-1*0.4+0*0.1+1*0.2+3*0.3)^2
=3.3-0.7^2
=2.81

解析

本题考查离散型随机变量方差的计算，解题思路是先根据离散型随机变量期望的定义求出 $E(X)$ 和 $E(X^2)$，再利用方差公式 $D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$ 计算方差 $D(X)$。

  1. 计算 $E(X)$：
    根据离散型随机变量期望的定义，若离散型随机变量 $X$ 的分布律为 $P(X = x_i)=p_i$，$i = 1,2,\cdots$，则 $E(X)=\sum_{i}x_ip_i$。
    已知 $X$ 的取值为 $-1$，$0$，$1$，$3$，对应的概率 $P$ 分别为 $0.4$，$0.1$，$0.2$，$0.3$，则：
    $E(X)=(-1)\times0.4 + 0\times0.1 + 1\times0.2 + 3\times0.3$
    $=-0.4 + 0 + 0.2 + 0.9$
    $=0.7$
  2. 计算 $E(X^2)$：
    同样根据离散型随机变量期望的定义，此时随机变量为 $X^2$，则 $E(X^2)=\sum_{i}x_{i}^{2}p_i$。
    $X^2$ 的取值分别为 $(-1)^2 = 1$，$0^2 = 0$，$1^2 = 1$，$3^2 = 9$，对应的概率不变，则：
    $E(X^2)=1\times0.4 + 0\times0.1 + 1\times0.2 + 9\times0.3$
    $=0.4 + 0 + 0.2 + 2.7$
    $=3.3$
  3. 计算 $D(X)$：
    根据方差公式 $D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$，将 $E(X)=0.7$，$E(X^2)=3.3$ 代入可得：
    $D(X)=3.3 - 0.7^2$
    $=3.3 - 0.49$
    $=2.81$