4.(填空题)设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)=}Axy^2,0le xle 1,0le yle x0,其他则A=____.
题目解答
答案
由概率密度函数的性质，其在定义域内的积分等于1。给定的定义域为 $0 \leq x \leq 1$，$0 \leq y \leq x$，故有：
$\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} Axy^2 \, dy \, dx = 1$
先对 $y$ 积分：
$\int_{0}^{x} Axy^2 \, dy = A x \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{x} = \frac{A x^4}{3}$
再对 $x$ 积分：
$\int_{0}^{1} \frac{A x^4}{3} \, dx = \frac{A}{3} \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} = \frac{A}{15}$
令积分等于1，解得：
$\frac{A}{15} = 1 \quad \Rightarrow \quad A = 15$
答案： $\boxed{15}$
解析
考查要点：本题主要考查概率密度函数的归一化条件，即概率密度函数在整个定义域上的积分等于1。需要正确设置积分限并计算二重积分。
解题核心思路：
- 归一化条件：利用概率密度函数的积分等于1，建立方程。
- 积分顺序：根据定义域 $0 \leq y \leq x \leq 1$，确定先对 $y$ 积分，再对 $x$ 积分。
- 分步计算：先对内层积分求解，再代入外层积分，最终解出常数 $A$。
破题关键点：
- 积分限的确定：注意 $y$ 的上限是 $x$，而 $x$ 的范围是 $[0,1]$。
- 积分计算的准确性：正确计算幂函数的积分，避免系数错误。
根据概率密度函数的归一化条件，有：
$\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} Axy^2 \, dy \, dx = 1$
步骤1：对 $y$ 积分
内层积分：
$\int_{0}^{x} Axy^2 \, dy = A x \int_{0}^{x} y^2 \, dy = A x \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{x} = A x \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{A x^4}{3}$
步骤2：对 $x$ 积分
将结果代入外层积分：
$\int_{0}^{1} \frac{A x^4}{3} \, dx = \frac{A}{3} \int_{0}^{1} x^4 \, dx = \frac{A}{3} \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} = \frac{A}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{A}{15}$
步骤3：解方程求 $A$
根据归一化条件 $\frac{A}{15} = 1$，解得：
$A = 15$