求证 sin (x+y)-sin x=2sin dfrac (y)(2)times cos [ x+dfrac (y)(2)]

本题考查三角函数的和差化积公式的应用。解题思路是观察要证明的等式左边的式子$\sin (x + y) - \sin x$，发现它符合和差化积公式$\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\left[\frac{\alpha + \beta}{2}\right] \cdot \sin\left[\frac{\alpha - \beta}{2}\right]$的形式，所以我们可以令$\alpha = x + y$，$\beta = x$，然后代入该公式进行化简，看是否能得到等式右边的式子。

1. 首先，明确和差化积公式$\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\left[\frac{\alpha + \beta}{2}\right] \cdot \sin\left[\frac{\alpha - \beta}{2}\right]$。
2. 然后，令$\alpha = x + y$，$\beta = x$，将其代入上述公式：
   • 对于$\frac{\alpha + \beta}{2}$，把$\alpha = x + y$，$\beta = x$代入可得$\frac{(x + y) + x}{2}=\frac{2x + y}{2}=x+\frac{y}{2}$。
   • 对于$\frac{\alpha - \beta}{2}$，把$\alpha = x + y$，$\beta = x$代入可得$\frac{(x + y) - x}{2}=\frac{y}{2}$。
3. 最后，将上述结果代入和差化积公式，得到$\sin (x + y) - \sin x = 2\cos\left[x+\frac{y}{2}\right] \cdot \sin\left[\frac{y}{2}\right]$，根据乘法交换律$ab = ba$，可写成$2\sin\frac{y}{2}\cdot\cos\left[x+\frac{y}{2}\right]$，与等式右边一致，证明完毕。