题目
设 X_1, X_2, ldots, X_n 是总体 N(0, sigma^2) 的样本，则下列估计量中可以作为 sigma^2 的无偏估计的是()。A. (1)/(n) sum_(i=1)^n X_i^2B. (1)/(n-1) sum_(i=1)^n X_i^2C. (1)/(n) sum_(i=1)^n X_iD. (1)/(n-1) sum_(i=1)^n X_i
设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是总体 $N(0, \sigma^2)$ 的样本，则下列估计量中可以作为 $\sigma^2$ 的无偏估计的是()。
A. $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^2$
B. $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} X_i^2$
C. $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$
D. $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} X_i$
题目解答
答案
A. $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^2$
解析
步骤 1：理解无偏估计量的定义
无偏估计量是指估计量的期望值等于被估计参数的真实值。对于 $\sigma^2$ 的无偏估计量，其期望值应等于 $\sigma^2$。
步骤 2：计算各选项的期望值
- **选项 A**：$E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^2\right)$
- 由于 $X_i \sim N(0, \sigma^2)$，则 $E(X_i^2) = \sigma^2$。
- 因此，$E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^2\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(X_i^2) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \sigma^2 = \sigma^2$。
- 选项 A 的期望值等于 $\sigma^2$，因此是无偏估计量。
- **选项 B**：$E\left(\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} X_i^2\right)$
- 同样，$E(X_i^2) = \sigma^2$。
- 因此，$E\left(\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} X_i^2\right) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} E(X_i^2) = \frac{n}{n-1} \sigma^2$。
- 选项 B 的期望值不等于 $\sigma^2$，因此是有偏估计量。
- **选项 C**：$E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right)$
- 由于 $E(X_i) = 0$，则 $E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(X_i) = 0$。
- 选项 C 的期望值为 0，因此是有偏估计量。
- **选项 D**：$E\left(\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} X_i\right)$
- 同样，$E(X_i) = 0$。
- 因此，$E\left(\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} E(X_i) = 0$。
- 选项 D 的期望值为 0，因此是有偏估计量。
无偏估计量是指估计量的期望值等于被估计参数的真实值。对于 $\sigma^2$ 的无偏估计量，其期望值应等于 $\sigma^2$。
步骤 2：计算各选项的期望值
- **选项 A**：$E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^2\right)$
- 由于 $X_i \sim N(0, \sigma^2)$，则 $E(X_i^2) = \sigma^2$。
- 因此，$E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^2\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(X_i^2) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \sigma^2 = \sigma^2$。
- 选项 A 的期望值等于 $\sigma^2$，因此是无偏估计量。
- **选项 B**：$E\left(\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} X_i^2\right)$
- 同样，$E(X_i^2) = \sigma^2$。
- 因此，$E\left(\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} X_i^2\right) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} E(X_i^2) = \frac{n}{n-1} \sigma^2$。
- 选项 B 的期望值不等于 $\sigma^2$，因此是有偏估计量。
- **选项 C**：$E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right)$
- 由于 $E(X_i) = 0$，则 $E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(X_i) = 0$。
- 选项 C 的期望值为 0，因此是有偏估计量。
- **选项 D**：$E\left(\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} X_i\right)$
- 同样，$E(X_i) = 0$。
- 因此，$E\left(\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} E(X_i) = 0$。
- 选项 D 的期望值为 0，因此是有偏估计量。