题目

[3.17]用一种叫"混乱指标"的尺度去衡量工程师的英语文章的可理解性,对混乱指标的-|||-打分越低表示可理解性越高,分别随机选取13篇刊载在工程杂志上的论文,以及10篇未出版-|||-的学术报告,对它们的打分列于下表:-|||-1.79 1.75 1.67 1.65 1.87 1.74 1.94-|||-工程杂志上的论文(数据I)-|||-__ 1.62 2.06 1.33 1.96 1.69 1.70-|||-2.39 2.51 2.86 2.56 2.29 2.49 2.36-|||-未出版的学术报告(数据Ⅱ)-|||-2.58 2.62 2.41-|||-设数据I,Ⅱ分别来自正态总体N(μ1 σ1^2),N(μ2,a2^2),μ1 μ2,a1^2,a2^2均未知,两样本独立.-|||-(1)试检验假设 ({H)_(0)}^2:({sigma )_(1)}^2=({sigma )_(2)}^2 ,_(1):({sigma )_(1)}^2neq ({sigma )_(2)}^2 (取 =0.1) ;-|||-(2)若能接受H0,接着检验假设 ':(N)_(1)=(mu )_(2) ,:(N)_(1)=(mu )_(2) (取 =0.1) -

题目解答

本题主要考查两个正态总体方差齐性的F检验以及在方差相等条件下均值差的t检验。解题思路如下：

（1）检验假设$H_{0}:\sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2}$，$H_{1}:\sigma_{1}^{2}\neq\sigma_{2}^{2}$

首先明确两个样本的容量$n_1$和$n_2$，本题中$n_1 = 13$，$n_2 = 10$。
接着计算两个样本的方差$S_{1}^{2}$和$S_{2}^{2}$，已知$S_{1}^{2}=0.034$，$S_{2}^{2}=0.0264$。
然后确定显著性水平$\alpha = 0.1$，由于是双侧检验，所以$\frac{\alpha}{2}=0.05$。
查找$F$分布表得到$F_{\frac{\alpha}{2}}(n_1 - 1,n_2 - 1)=F_{0.05}(12,9)=3.07$，以及$F_{1 - \frac{\alpha}{2}}(n_1 - 1,n_2 - 1)=\frac{1}{F_{\frac{\alpha}{2}}(n_2 - 1,n_1 - 1)}=\frac{1}{F_{0.05}(9,12)}=\frac{1}{2.80}=0.357$。
计算检验统计量$F=\frac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}}=\frac{0.034}{0.0264}\approx1.288$。
最后比较$F$值与临界值的大小，若$F_{1 - \frac{\alpha}{2}}(n_1 - 1,n_2 - 1)\lt F\lt F_{\frac{\alpha}{2}}(n_1 - 1,n_2 - 1)$，则接受$H_0$；否则拒绝$H_0$。本题中$0.357\lt 1.288\lt 3.07$，所以接受$H_0$，认为两总体方差相等。

（2）在接受$H_0$的基础上，检验假设$H_{0}':\mu_{1}=\mu_{2}$，$H_{1}':\mu_{1}\neq\mu_{2}$

计算两个样本的均值$\overline{x_1}$和$\overline{x_2}$，已知$\overline{x_1}=1.752$，$\overline{x_2}=2.507$。
计算合并方差$s_{w}^{2}=\frac{(n_1 - 1)S_{1}^{2}+(n_2 - 1)S_{2}^{2}}{n_1 + n_2 - 2}=\frac{12\times 0.034 + 9\times 0.0264}{13 + 10 - 2}=0.0307$。
计算检验统计量$t=\frac{\overline{x_1}-\overline{x_2}}{s_{w}\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}=\frac{1.752 - 2.507}{\sqrt{0.0307}\sqrt{\frac{1}{13}+\frac{1}{10}}}\approx - 10.244$。
确定显著性水平$\alpha = 0.1$，双侧检验时$\frac{\alpha}{2}=0.05$，自由度$n_1 + n_2 - 2 = 13 + 10 - 2 = 21$，查找$t$分布表得到$t_{\frac{\alpha}{2}}(n_1 + n_2 - 2)=t_{0.05}(21)=1.7207$。
比较$\vert t\vert$与$t_{\frac{\alpha}{2}}(n_1 + n_2 - 2)$的大小，若$\vert t\vert\gt t_{\frac{\alpha}{2}}(n_1 + n_2 - 2)$，则拒绝$H_0'$；否则接受$H_0'$。本题中$\vert - 10.244\vert\gt 1.7207$，所以拒绝$H_0'$，认为杂志上刊载的论文与未出版的学术报告的可理解性有显著差异。