题目

34.(填空题，2.0分)设袋中装有10个球，其中有6个白球4个黑球，任取2个球，第2个是黑球的概率为____.

34.(填空题，2.0分) 设袋中装有10个球，其中有6个白球4个黑球，任取2个球，第2个是黑球的概率为____.

题目解答

答案

设袋中装有10个球，其中6个白球，4个黑球。任取2个球，第2个球是黑球的概率可按以下步骤计算：

  1. 总取法：从10个球中任取2个球，总取法数为 $ \binom{10}{2} = 45 $（或考虑顺序为 $ 10 \times 9 = 90 $）。

  2. 第2个球为黑球的情况：

    • 情况1：第1个球为白球，第2个球为黑球，取法数为 $ 6 \times 4 = 24 $。
    • 情况2：第1个球为黑球，第2个球为黑球，取法数为 $ 4 \times 3 = 12 $。
      总情况数：$ 24 + 12 = 36 $（或考虑顺序为 $ 4 \times 9 = 36 $）。

  3. 概率计算：
    $P(\text{第2个球为黑球}) = \frac{36}{90} = \frac{2}{5}$

答案：$\boxed{\frac{2}{5}}$

解析

本题考查古典概型概率的计算。解题思路是先确定从袋中任取$2$个球的所有可能情况数，再分析第$2$个球是黑球的所有情况数，最后根据古典概型概率公式计算概率。

步骤一：计算从$10$个球中任取$2$个球的总取法数

考虑取球顺序，从$10$个球中先取第$1$个球有$10$种取法，取完第$1$个球后，再从剩下的$9$个球中取第$2$个球有$9$种取法。
根据分步乘法计数原理，总取法数为$10\times9 = 90$种。

步骤二：计算第$2$个球是黑球的情况数

第$2$个球是黑球可分为两种情况：

  • 情况一：第$1$个球为白球，第$2$个球为黑球
    袋中有$6$个白球，取第$1$个球为白球有$6$种取法；取完$1$个白球后，还剩$4$个黑球，取第$2$个球为黑球有$4$种取法。
    根据分步乘法计数原理，这种情况的取法数为$6\times4 = 24$种。
  • 情况二：第$1$个球为黑球，第$2$个球为黑球
    袋中有$4$个黑球，取第$1$个球为黑球有$4$种取法；取完$1$个黑球后，还剩$3$个黑球，取第$2$个球为黑球有$3$种取法。
    根据分步乘法计数原理，这种情况的取法数为$4\times3 = 12$种。

将两种情况的取法数相加，可得第$2$个球是黑球的总情况数为$24 + 12 = 36$种。

步骤三：根据古典概型概率公式计算概率

古典概型概率公式为$P(A)=\frac{m}{n}$，其中$n$是基本事件的总数，$m$是事件$A$所包含的基本事件数。
设“第$2$个球是黑球”为事件$A$，则$n = 90$，$m = 36$，所以$P(A)=\frac{36}{90}=\frac{2}{5}$。