题目
设随机变量X与Y均服从正态分布, backsim N(mu ,(4)^2) ,Y~-|||-N(μ,5^2),记 _(1)=P Xleqslant mu -4 _(2)=P Ygeqslant mu +5 , 则 ()-|||-(A)对任何实数μ,都有 _(1)=(P)_(2) ;-|||-(B)对任何实数μ,都有 _(1)lt (P)_(2) ;-|||-(C)只对μ的个别值,才有 _(1)=(P)_(2) ;-|||-(D)对任何实数μ,都有 _(1)gt (P)_(2)
题目解答
答案
A. 对任何实数μ,都有 ${P}_{1}={P}_{2}$ ;
解析
步骤 1：标准化正态分布
首先，将随机变量X和Y标准化。对于X，我们有：
$$
Z_X = \frac{X - \mu}{4}
$$
对于Y，我们有：
$$
Z_Y = \frac{Y - \mu}{5}
$$
步骤 2：计算概率
对于${p}_{1}$，我们有：
$$
{p}_{1} = P\{ X \leqslant \mu - 4 \} = P\{ \frac{X - \mu}{4} \leqslant \frac{\mu - 4 - \mu}{4} \} = P\{ Z_X \leqslant -1 \}
$$
对于${p}_{2}$，我们有：
$$
{p}_{2} = P\{ Y \geqslant \mu + 5 \} = P\{ \frac{Y - \mu}{5} \geqslant \frac{\mu + 5 - \mu}{5} \} = P\{ Z_Y \geqslant 1 \}
$$
步骤 3：利用标准正态分布表
根据标准正态分布表，我们有：
$$
P\{ Z_X \leqslant -1 \} = P\{ Z_Y \geqslant 1 \}
$$
因为标准正态分布是关于0对称的，所以：
$$
P\{ Z_X \leqslant -1 \} = P\{ Z_Y \geqslant 1 \} = 0.1587
$$
首先，将随机变量X和Y标准化。对于X，我们有：
$$
Z_X = \frac{X - \mu}{4}
$$
对于Y，我们有：
$$
Z_Y = \frac{Y - \mu}{5}
$$
步骤 2：计算概率
对于${p}_{1}$，我们有：
$$
{p}_{1} = P\{ X \leqslant \mu - 4 \} = P\{ \frac{X - \mu}{4} \leqslant \frac{\mu - 4 - \mu}{4} \} = P\{ Z_X \leqslant -1 \}
$$
对于${p}_{2}$，我们有：
$$
{p}_{2} = P\{ Y \geqslant \mu + 5 \} = P\{ \frac{Y - \mu}{5} \geqslant \frac{\mu + 5 - \mu}{5} \} = P\{ Z_Y \geqslant 1 \}
$$
步骤 3：利用标准正态分布表
根据标准正态分布表，我们有：
$$
P\{ Z_X \leqslant -1 \} = P\{ Z_Y \geqslant 1 \}
$$
因为标准正态分布是关于0对称的，所以：
$$
P\{ Z_X \leqslant -1 \} = P\{ Z_Y \geqslant 1 \} = 0.1587
$$