题目
11.设x1,x2,···xn为总体N(μ,σ^2)的一个样本.试适当选择常数C,使 sum _(i=1)^n-1(({x)_(i+1)-(x)_(i))}^2 为σ^2-|||-的无偏估计量.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定样本的分布
由于 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的一个样本，每个 $x_i$ 都服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$。因此，$E(x_i) = \mu$，$D(x_i) = \sigma^2$，且 $E(x_i^2) = \mu^2 + \sigma^2$。
步骤 2：计算 $E[(x_{i+1} - x_i)^2]$
由于 $x_{i+1}$ 和 $x_i$ 都是独立的正态分布随机变量，我们有：
$$
E[(x_{i+1} - x_i)^2] = E[x_{i+1}^2 - 2x_{i+1}x_i + x_i^2] = E[x_{i+1}^2] - 2E[x_{i+1}]E[x_i] + E[x_i^2]
$$
由于 $E[x_{i+1}] = E[x_i] = \mu$，$E[x_{i+1}^2] = E[x_i^2] = \mu^2 + \sigma^2$，代入上式得：
$$
E[(x_{i+1} - x_i)^2] = (\mu^2 + \sigma^2) - 2\mu^2 + (\mu^2 + \sigma^2) = 2\sigma^2
$$
步骤 3：计算 $E[C\sum_{i=1}^{n-1}(x_{i+1} - x_i)^2]$
根据步骤 2 的结果，我们有：
$$
E[C\sum_{i=1}^{n-1}(x_{i+1} - x_i)^2] = C\sum_{i=1}^{n-1}E[(x_{i+1} - x_i)^2] = C\sum_{i=1}^{n-1}2\sigma^2 = 2C(n-1)\sigma^2
$$
为了使 $C\sum_{i=1}^{n-1}(x_{i+1} - x_i)^2$ 成为 $\sigma^2$ 的无偏估计量，我们需要：
$$
2C(n-1)\sigma^2 = \sigma^2
$$
解得：
$$
C = \frac{1}{2(n-1)}
$$
由于 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的一个样本，每个 $x_i$ 都服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$。因此，$E(x_i) = \mu$，$D(x_i) = \sigma^2$，且 $E(x_i^2) = \mu^2 + \sigma^2$。
步骤 2：计算 $E[(x_{i+1} - x_i)^2]$
由于 $x_{i+1}$ 和 $x_i$ 都是独立的正态分布随机变量，我们有：
$$
E[(x_{i+1} - x_i)^2] = E[x_{i+1}^2 - 2x_{i+1}x_i + x_i^2] = E[x_{i+1}^2] - 2E[x_{i+1}]E[x_i] + E[x_i^2]
$$
由于 $E[x_{i+1}] = E[x_i] = \mu$，$E[x_{i+1}^2] = E[x_i^2] = \mu^2 + \sigma^2$，代入上式得：
$$
E[(x_{i+1} - x_i)^2] = (\mu^2 + \sigma^2) - 2\mu^2 + (\mu^2 + \sigma^2) = 2\sigma^2
$$
步骤 3：计算 $E[C\sum_{i=1}^{n-1}(x_{i+1} - x_i)^2]$
根据步骤 2 的结果，我们有：
$$
E[C\sum_{i=1}^{n-1}(x_{i+1} - x_i)^2] = C\sum_{i=1}^{n-1}E[(x_{i+1} - x_i)^2] = C\sum_{i=1}^{n-1}2\sigma^2 = 2C(n-1)\sigma^2
$$
为了使 $C\sum_{i=1}^{n-1}(x_{i+1} - x_i)^2$ 成为 $\sigma^2$ 的无偏估计量，我们需要：
$$
2C(n-1)\sigma^2 = \sigma^2
$$
解得：
$$
C = \frac{1}{2(n-1)}
$$