设 X_1, X_2, ldots, X_n 相互独立，且均服从标准正态分布。下列随机变量中服从 chi^2 分布的是（ ）。A. X_1 + X_2 + ... + X_nB. (X_1 + X_2 + ... + X_n)^2C. sqrt(X_1^2 + X_2^2 + ... + X_n^2)D. X_1^2 + X_2^2 + ... + X_n^2

考查要点：本题主要考查对卡方分布定义的理解，以及如何判断随机变量是否服从卡方分布。

解题核心思路：
卡方分布的定义是独立标准正态变量的平方和。因此，需逐一分析选项是否满足以下两个条件：

1. 每个变量是标准正态分布；
2. 变量平方后相加，且各平方项独立。

破题关键点：

• 选项D直接是独立标准正态变量的平方和，符合卡方分布的定义。
• 其他选项或未平方（如A）、或平方和形式错误（如B、C），均不符合定义。

选项分析

A. $X_1 + X_2 + \cdots + X_n$

• 未平方：直接相加的结果服从正态分布$N(0, n)$，而非卡方分布。
• 结论：不正确。

B. $(X_1 + X_2 + \cdots + X_n)^2$

• 和的平方展开后包含交叉项：例如$(X_1 + X_2)^2 = X_1^2 + X_2^2 + 2X_1X_2$，破坏了平方和的独立性。
• 结论：不正确。

C. $\sqrt{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}$

• 平方和的平方根：服从卡方分布的平方根（即$\chi$分布），而非卡方分布本身。
• 结论：不正确。

D. $X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2$

• 独立标准正态变量的平方和：符合卡方分布的定义，自由度为$n$。
• 结论：正确。