题目

2.解线性方程组}2x_(1)-x_(2)+5x_(3)=2x_(1)-x_(2)+2x_(3)=2-x_(1)+2x_(2)+x_(3)=4

2.解线性方程组$\begin{cases}2x_{1}-x_{2}+5x_{3}=2\\x_{1}-x_{2}+2x_{3}=2\\-x_{1}+2x_{2}+x_{3}=4\end{cases}$

题目解答

答案

将方程组表示为：
$\begin{cases}2x_1 - x_2 + 5x_3 = 2 \\x_1 - x_2 + 2x_3 = 2 \\-x_1 + 2x_2 + x_3 = 4\end{cases}$

步骤1：消去 $x_1$

  • 由第2个方程减去第1个方程的 $\frac{1}{2}$ 倍，得 $x_2 + x_3 = -2$（方程4）。
  • 将第1个方程与第3个方程相加，得 $x_1 + x_2 + 6x_3 = 6$（方程5）。
  • 由方程5减去第2个方程，得 $x_2 + 2x_3 = 2$（方程6）。

步骤2：消去 $x_2$

  • 由方程6减去方程4，得 $x_3 = 4$。

步骤3：求解 $x_2$ 和 $x_1$

  • 将 $x_3 = 4$ 代入方程4，得 $x_2 = -6$。
  • 将 $x_2 = -6$ 和 $x_3 = 4$ 代入第2个方程，得 $x_1 = -12$。

答案：
$\boxed{\begin{cases}x_1 = -12 \\x_2 = -6 \\x_3 = 4\end{cases}}$

解析

本题考查线性方程组的求解，解题思路是通过消元法逐步减少未知数的个数，先消去一个未知数，再求解剩下的未知数，最后回代求出所有未知数的值。

  1. 消去$x_1$：
    • 已知方程组$\begin{cases}2x_{1}-x_{2}+5x_{3}=2&(1)\\x_{1}-x_{2}+2x_{3}=2&(2)\\-x_{1}+2x_{2}+x_{3}=4&(3)\end{cases}$。
    • 为了消去$x_1$，用方程$(2)$减去方程$(1)$的$\frac{1}{2}$倍，即$(x_{1}-x_{2}+2x_{3})-\frac{1}{2}(2x_{1}-x_{2}+5x_{3}) = 2-\frac{1}{2}\times2$。
    • 展开式子可得$x_{1}-x_{2}+2x_{3}-x_{1}+\frac{1}{2}x_{2}-\frac{5}{2}x_{3}=2 - 1$。
    • 合并同类项得$(x_{1}-x_{1})+(-x_{2}+\frac{1}{2}x_{2})+(2x_{3}-\frac{5}{2}x_{3}) = 1$，即$-\frac{1}{2}x_{2}-\frac{1}{2}x_{3}=1$，两边同时乘以$-2$得到$x_{2}+x_{3}=-2$，记为方程$(4)$。
    • 将方程$(1)$与方程$(3)$相加，即$(2x_{1}-x_{2}+5x_{3})+(-x_{1}+2x_{2}+x_{3}) = 2 + 4$。
    • 展开式子可得$2x_{1}-x_{2}+5x_{3}-x_{1}+2x_{2}+x_{3}=6$。
    • 合并同类项得$(2x_{1}-x_{1})+(-x_{2}+2x_{2})+(5x_{3}+x_{3}) = 6$，即$x_{1}+x_{2}+6x_{3}=6$，记为方程$(5)$。
    • 用方程$(5)$减去方程$(2)$，即$(x_{1}+x_{2}+6x_{3})-(x_{1}-x_{2}+2x_{3}) = 6 - 2$。
    • 展开式子可得$x_{1}+x_{2}+6x_{3}-x_{1}+x_{2}-2x_{3}=4$。
    • 合并同类项得$(x_{1}-x_{1})+(x_{2}+x_{2})+(6x_{3}-2x_{3}) = 4$，即$2x_{2}+4x_{3}=4$，两边同时除以$2$得到$x_{2}+2x_{3}=2$，记为方程$(6)$。
  2. 消去$x_2$：
    • 用方程$(6)$减去方程$(4)$，即$(x_{2}+2x_{3})-(x_{2}+x_{3}) = 2-(-2)$。
    • 展开式子可得$x_{2}+2x_{3}-x_{2}-x_{3}=2 + 2$。
    • 合并同类项得$(x_{2}-x_{2})+(2x_{3}-x_{3}) = 4$，即$x_{3}=4$。
  3. 求解$x_2$和$x_1$：
    • 将$x_{3}=4$代入方程$(4)$，得到$x_{2}+4=-2$，移项可得$x_{2}=-2 - 4=-6$。
    • 将$x_{2}=-6$和$x_{3}=4$代入方程$(2)$，即$x_{1}-(-6)+2\times4 = 2$。
    • 化简可得$x_{1}+6 + 8 = 2$，即$x_{1}+14 = 2$，移项可得$x_{1}=2 - 14=-12$。