题目
2-23 在题图所示结构中,刚性横梁AB由斜杆CD吊在水平位置上,斜杆CD的抗拉刚-|||-度为EA,点B处受载荷F作用,尺寸如图所示。试求点B的垂直位移 Delta By 。-|||-D-|||-α-|||-组 F c-|||-A C-|||-B !-|||-绿 1/2-|||-1/2-|||-题 2-23 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定斜杆CD的轴向力
由于刚性横梁AB在水平位置上，且点B处受载荷F作用，斜杆CD将承担该载荷。斜杆CD的轴向力为F，因为斜杆CD是唯一支撑点B的垂直载荷的构件。
步骤 2：计算斜杆CD的伸长量
斜杆CD的伸长量 $\Delta L$ 可以通过胡克定律计算，即 $\Delta L = \dfrac {FL}{EA}$，其中F是斜杆CD的轴向力，L是斜杆CD的长度，EA是斜杆CD的抗拉刚度。斜杆CD的长度L可以通过几何关系计算，即 $L = \dfrac {a}{\cos a}$，其中a是斜杆CD与水平线的夹角。
步骤 3：计算点B的垂直位移
点B的垂直位移 $\Delta By$ 可以通过斜杆CD的伸长量和几何关系计算，即 $\Delta By = \Delta L \sin a$。将步骤2中的伸长量代入，得到 $\Delta By = \dfrac {FL}{EA} \sin a = \dfrac {F \cdot \dfrac {a}{\cos a}}{EA} \sin a = \dfrac {Fa \sin a}{EA \cos a} = \dfrac {4Fa}{EA{\cos }^{3}a}$，其中 $\sin a = 2 \sin \dfrac {a}{2} \cos \dfrac {a}{2}$，$\cos a = 2 {\cos }^{2} \dfrac {a}{2} - 1$，$\sin \dfrac {a}{2} = \dfrac {1}{2}$，$\cos \dfrac {a}{2} = \dfrac {\sqrt {3}}{2}$，代入后得到 $\Delta By = \dfrac {4Fa}{EA{\cos }^{3}a}$。
由于刚性横梁AB在水平位置上，且点B处受载荷F作用，斜杆CD将承担该载荷。斜杆CD的轴向力为F，因为斜杆CD是唯一支撑点B的垂直载荷的构件。
步骤 2：计算斜杆CD的伸长量
斜杆CD的伸长量 $\Delta L$ 可以通过胡克定律计算，即 $\Delta L = \dfrac {FL}{EA}$，其中F是斜杆CD的轴向力，L是斜杆CD的长度，EA是斜杆CD的抗拉刚度。斜杆CD的长度L可以通过几何关系计算，即 $L = \dfrac {a}{\cos a}$，其中a是斜杆CD与水平线的夹角。
步骤 3：计算点B的垂直位移
点B的垂直位移 $\Delta By$ 可以通过斜杆CD的伸长量和几何关系计算，即 $\Delta By = \Delta L \sin a$。将步骤2中的伸长量代入，得到 $\Delta By = \dfrac {FL}{EA} \sin a = \dfrac {F \cdot \dfrac {a}{\cos a}}{EA} \sin a = \dfrac {Fa \sin a}{EA \cos a} = \dfrac {4Fa}{EA{\cos }^{3}a}$，其中 $\sin a = 2 \sin \dfrac {a}{2} \cos \dfrac {a}{2}$，$\cos a = 2 {\cos }^{2} \dfrac {a}{2} - 1$，$\sin \dfrac {a}{2} = \dfrac {1}{2}$，$\cos \dfrac {a}{2} = \dfrac {\sqrt {3}}{2}$，代入后得到 $\Delta By = \dfrac {4Fa}{EA{\cos }^{3}a}$。