一工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布N（160，σ2），若要求P(120＜X≤200)≥0.8，允许σ最大不超过多少？

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算及标准化转换，需要利用标准正态分布表求解参数。

解题核心思路：

1. 标准化转换：将原正态变量$X$转化为标准正态变量$Z$，简化概率计算。
2. 对称性应用：利用标准正态分布的对称性，将区间概率转化为单边概率的表达式。
3. 临界值求解：通过查标准正态分布表，找到对应概率的临界值，进而解出$\sigma$的最大值。

破题关键点：

• 正确写出标准化后的概率表达式。
• 将双侧概率转化为单侧概率的线性关系。
• 准确查表确定临界值。

标准化转换：
设$Z = \dfrac{X - 160}{\sigma}$，则原概率可转化为：
$P\left( \dfrac{120 - 160}{\sigma} < Z \leq \dfrac{200 - 160}{\sigma} \right) = P\left( -\dfrac{40}{\sigma} < Z \leq \dfrac{40}{\sigma} \right) \geq 0.8$

对称性应用：
根据标准正态分布的对称性，有：
$P\left( -\dfrac{40}{\sigma} < Z \leq \dfrac{40}{\sigma} \right) = \Phi\left( \dfrac{40}{\sigma} \right) - \Phi\left( -\dfrac{40}{\sigma} \right) = 2\Phi\left( \dfrac{40}{\sigma} \right) - 1$
其中$\Phi(\cdot)$为标准正态分布的累积分布函数。

临界值求解：
根据题意，$2\Phi\left( \dfrac{40}{\sigma} \right) - 1 \geq 0.8$，即：
$\Phi\left( \dfrac{40}{\sigma} \right) \geq 0.9$
查标准正态分布表，当$\Phi(a) = 0.9$时，$a \approx 1.29$。因此：
$\dfrac{40}{\sigma} \geq 1.29 \quad \Rightarrow \quad \sigma \leq \dfrac{40}{1.29} \approx 31.25$