题目
31.填空题（4分）设总体X的概率分布为X & 1 & 2 & 3 P_(i) & theta^2 & 2theta(1-theta) & (1-theta)^2其中theta(0<theta<1)为未知参数。现抽得一组样本值3、1、2，则theta的矩估计值为【填空1】_
31.填空题（4分）
设总体X的概率分布为
$\begin{array}{|c|c|c|c|}
X & 1 & 2 & 3 \\
P_{i} & \theta^{2} & 2\theta(1-\theta) & (1-\theta)^{2}\end{array}$
其中$\theta(0<\theta<1)$为未知参数。现抽得一组样本值3、1、2，则$\theta$的矩估计值为【填空1】
_
题目解答
答案
为了找到$\theta$的矩估计值，我们需要使用样本均值来估计总体均值。首先，我们计算总体均值$E(X)$。
总体均值$E(X)$由下式给出：
\[
E(X) = 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) + 3 \cdot P(X=3)
\]
代入给定的概率，我们得到：
\[
E(X) = 1 \cdot \theta^2 + 2 \cdot 2\theta(1-\theta) + 3 \cdot (1-\theta)^2
\]
展开并简化表达式，我们有：
\[
E(X) = \theta^2 + 4\theta - 4\theta^2 + 3(1 - 2\theta + \theta^2) = \theta^2 + 4\theta - 4\theta^2 + 3 - 6\theta + 3\theta^2 = 3 - 2\theta
\]
因此，总体均值为：
\[
E(X) = 3 - 2\theta
\]
接下来，我们计算样本均值。样本值为3、1、2。样本均值$\bar{X}$为：
\[
\bar{X} = \frac{3 + 1 + 2}{3} = 2
\]
在矩估计法中，我们将样本均值等于总体均值：
\[
\bar{X} = E(X)
\]
代入已知值，我们得到：
\[
2 = 3 - 2\theta
\]
解$\theta$，我们有：
\[
2\theta = 3 - 2 \implies 2\theta = 1 \implies \theta = \frac{1}{2}
\]
因此，$\theta$的矩估计值为：
\[
\boxed{\frac{1}{2}}
\]