2.简答题将两封信随机的投入3个空邮筒，设X,Y分别表示第1，第2个邮筒中信的数量，求X和Y的联合概率分布律和边缘分布律，并判断X和Y是否独立。

将两封信随机投入3个空邮筒，设 $X$、$Y$ 分别表示第1、第2个邮筒中信的数量。 **联合概率分布律：** - $X$、$Y$ 可取值为0、1、2。 - 计算每种组合的概率： $$ \begin{array}{c|ccc} & Y=0 & Y=1 & Y=2 \\ \hline X=0 & \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & \frac{1}{9} \\ X=1 & \frac{2}{9} & \frac{2}{9} & 0 \\ X=2 & \frac{1}{9} & 0 & 0 \\ \end{array} $$ **边缘分布律：** - $P(X=0)=\frac{4}{9}$，$P(X=1)=\frac{4}{9}$，$P(X=2)=\frac{1}{9}$； - $P(Y=0)=\frac{4}{9}$，$P(Y=1)=\frac{4}{9}$，$P(Y=2)=\frac{1}{9}$。 **独立性判断：** - 检验 $P(X=i, Y=j) = P(X=i)P(Y=j)$，如 $P(X=0, Y=0) = \frac{1}{9} \neq \frac{16}{81} = P(X=0)P(Y=0)$，故不独立。 **答案：** $$ \boxed{ \begin{array}{c|ccc} & Y=0 & Y=1 & Y=2 \\ \hline X=0 & \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & \frac{1}{9} \\ X=1 & \frac{2}{9} & \frac{2}{9} & 0 \\ X=2 & \frac{1}{9} & 0 & 0 \\ \end{array} } $$ $X$、$Y$ 的边缘分布律均为 $\left(\frac{4}{9}, \frac{4}{9}, \frac{1}{9}\right)$，且 $X$、$Y$ 不独立。