2.2 设有5个二维模式样本如下：X_(1)=(0,0)^T,X_(2)=(0,1)^T,X_(3)=(2,0)^T,X_(4)=(3,3)^T,X_(5)=(4,4)^T定义类间距离为最短距离，且不得小于3。利用层次聚类法对这5个样本进行分类。

问题解析

题目要求我们使用层次聚类法对5个二维模式样本进行分类，类间距离定义为最短距离（即单链接距离），并且类间距离不得小于3。

样本点

给定的样本点为：

• $X_1 = (0, 0)^T$
• $X_2 = (0, 1)^T$
• $X_3 = (2, 0)^T$
• $X_4 = (3, 3)^T$
• $X_5 = (4, 4)^T$

聚类步骤

1. 计算初始距离矩阵：
   首先，计算每个样本点之间的欧几里得距离，构建初始距离矩阵。

   $d(X_i, X_j) = \sqrt{(x_{i1} - x_{j1})^2 + (x_{i2} - x_{j2})^2}$

   计算结果如下：
   $\begin{array}{c|ccccc} & X_1 & X_2 & X_3 & X_4 & X_5 \\ \hline X_1 & 0 & 1 & 2 & \sqrt{18} & \sqrt{32} \\ X_2 & 1 & 0 & \sqrt{5} & \sqrt{17} & \sqrt{33} \\ X_3 & 2 & \sqrt{5} & 0 & \sqrt{10} & \sqrt{20} \\ X_4 & \sqrt{18} & \sqrt{17} & \sqrt{10} & 0 & \sqrt{2} \\ X_5 & \sqrt{32} & \sqrt{33} & \sqrt{20} & \sqrt{2} & 0 \\ \end{array}$

2. 初始聚类：
   每个样本点初始时各自形成一个类：
   $\{X_1\}, \{X_2\}, \{X_3\}, \{X_4\}, \{X_5\}$

3. 合并最近的类：
   根据最短距离（单链接距离）合并最近的类。首先找到距离最小的两个类。

   • 最小距离为1，对应 $X_1$ 和 $X_2$。
   • 合并 $X_1$ 和 $X_2$ 形成新的类 $C_1 = \{X_1, X_2\}$。

   更新距离矩阵：
   $\begin{array}{c|cccc} & C_1 & X_3 & X_4 & X_5 \\ \hline C_1 & 0 & 2 & \sqrt{10} & \sqrt{18} \\ X_3 & 2 & 0 & \sqrt{10} & \sqrt{20} \\ X_4 & \sqrt{10} & \sqrt{10} & 0 & \sqrt{2} \\ X_5 & \sqrt{18} & \sqrt{20} & \sqrt{2} & 0 \\ \end{array}$

4. 继续合并：

   • 最小距离为 $\sqrt{2}$，对应 $X_4$ 和 $X_5$。
   • 合并 $X_4$ 和 $X_5$ 形成新的类 $C_2 = \{X_4, X_5\}$。

   更新距离矩阵：
   $\begin{array}{c|ccc} & C_1 & X_3 & C_2 \\ \hline C_1 & 0 & 2 & \sqrt{10} \\ X_3 & 2 & 0 & \sqrt{10} \\ C_2 & \sqrt{10} & \sqrt{10} & 0 \\ \end{array}$

5. 继续合并：

   • 最小距离为2，对应 $C_1$ 和 $X_3$。
   • 合并 $C_1$ 和 $X_3$ 形成新的类 $C_3 = \{X_1, X_2, X_3\}$。

   更新距离矩阵：
   $\begin{array}{c|cc} & C_3 & C_2 \\ \hline C_3 & 0 & \sqrt{10} \\ C_2 & \sqrt{10} & 0 \\ \end{array}$

6. 检查类间距离：

   • 当前类间距离为 $\sqrt{10} \approx 3.16$，满足类间距离不得小于3的条件。

最终分类结果

最终分类结果为：

• $C_3 = \{X_1, X_2, X_3\}$
• $C_2 = \{X_4, X_5\}$

答案

最终分类结果为两个类：

1. $\{X_1, X_2, X_3\}$
2. $\{X_4, X_5\}$