3.设向量组a1,a2,···, (alpha )_(m)(mgt 1) 线性无关,且 beta =(alpha )_(1)+-|||-_(2)+... +(a)_(m), 证明向量 beta -(alpha )_(1), beta -(alpha )_(2) ,.., beta -(alpha )_(m) 线性无关.

本题考查向量组线性无关的概念以及线性方程组解的判定。解题的关键思路是根据向量组线性无关的定义，设出线性组合等于零的等式，然后通过已知条件进行化简，得到关于系数的线性方程组，最后根据向量组线性无关的性质判断方程组只有零解，从而证明新向量组线性无关。

设存在一组数$k_1,k_2,\cdots,k_m$，使得$k_1(\beta - \alpha_1)+k_2(\beta - \alpha_2)+\cdots +k_m(\beta - \alpha_m)=0$。

1. 对等式进行化简：
   将上式展开可得$(k_1 + k_2+\cdots + k_m)\beta-(k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2+\cdots + k_m\alpha_m)=0$。
2. 代入$\beta$的表达式：
   已知$\beta=\alpha_1+\alpha_2+\cdots +\alpha_m$，将其代入上式可得：
   $(k_1 + k_2+\cdots + k_m)(\alpha_1+\alpha_2+\cdots +\alpha_m)-(k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2+\cdots + k_m\alpha_m)=0$。
   进一步展开得到：
   $(k_1 + k_2+\cdots + k_m)\alpha_1+(k_1 + k_2+\cdots + k_m)\alpha_2+\cdots +(k_1 + k_2+\cdots + k_m)\alpha_m - k_1\alpha_1 - k_2\alpha_2-\cdots - k_m\alpha_m = 0$。
   整理可得：
   $(k_2 + k_3+\cdots + k_m)\alpha_1+(k_1 + k_3+\cdots + k_m)\alpha_2+\cdots +(k_1 + k_2+\cdots + k_{m - 1})\alpha_m = 0$。
3. 根据向量组线性无关的性质列方程组：
   因为向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$线性无关，所以由线性无关的定义可知，上式中$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$的系数都为$0$，即得到方程组：
   $\begin{cases}k_2 + k_3+\cdots + k_m = 0\\k_1 + k_3+\cdots + k_m = 0\\\cdots\\k_1 + k_2+\cdots + k_{m - 1} = 0\end{cases}$。
4. 判断方程组的解：
   该方程组的系数矩阵是一个$m$行$m$列的矩阵，且每一行元素之和都为$m - 1$，可以通过初等行变换将其化为上三角矩阵，其主对角线元素都不为$0$，所以系数矩阵的秩为$m$，即系数矩阵满秩。
   根据线性方程组解的判定定理，当系数矩阵满秩时，方程组只有零解，即$k_1 = k_2=\cdots = k_m = 0$。
5. 得出结论：
   根据向量组线性无关的定义，若只有当$k_1 = k_2=\cdots = k_m = 0$时，$k_1(\beta - \alpha_1)+k_2(\beta - \alpha_2)+\cdots +k_m(\beta - \alpha_m)=0$才成立，则向量组$\beta - \alpha_1,\beta - \alpha_2,\cdots,\beta - \alpha_m$线性无关。