题目
2.某种产品单个质量的均值为12g，标准差为1g。更新设备后，从所生产的产品中随机抽出100个，测得样本均值是overline(x)=12.5g。设这批产品的重量服从正态分布，问设备更新前后产品的平均重量是否有变化？（a=0.05，u_(0.025)=1.96）
2.某种产品单个质量的均值为12g，标准差为1g。更新设备后，从所生产的产品中随机抽出100个，测得样本均值是$\overline{x}$=12.5g。设这批产品的重量服从正态分布，问设备更新前后产品的平均重量是否有变化？（a=0.05，$u_{0.025}$=1.96）
题目解答
答案
为了确定设备更新前后产品的平均重量是否有变化，我们需要进行假设检验。具体步骤如下：
1. **提出假设**：
- 零假设 $ H_0 $：设备更新前后产品的平均重量没有变化，即 $ \mu = 12 $ g。
- 备择假设 $ H_1 $：设备更新前后产品的平均重量有变化，即 $ \mu \neq 12 $ g。
2. **确定检验统计量**：
由于样本量较大（ $ n = 100 $ ），且总体标准差已知（ $ \sigma = 1 $ g），我们可以使用Z检验。检验统计量为：
\[
Z = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}
\]
其中， $ \overline{x} = 12.5 $ g， $ \mu_0 = 12 $ g， $ \sigma = 1 $ g， $ n = 100 $。
3. **计算检验统计量的值**：
\[
Z = \frac{12.5 - 12}{1 / \sqrt{100}} = \frac{0.5}{0.1} = 5
\]
4. **确定拒绝域**：
对于双侧检验，显著性水平 $ \alpha = 0.05 $ 对应的临界值为 $ u_{0.025} = 1.96 $。拒绝域为 $ |Z| > 1.96 $。
5. **做出决策**：
计算得到的Z值为5，由于 $ |5| > 1.96 $，我们拒绝零假设 $ H_0 $。
6. **结论**：
设备更新前后产品的平均重量有显著变化。
因此，最终答案是：
\[
\boxed{\text{设备更新前后产品的平均重量有变化}}
\]
解析
本题考查正态总体均值的假设检验知识。解题思路是先提出关于设备更新前后产品平均重量是否有变化的假设，然后根据已知条件确定合适的检验统计量，计算该统计量的值，再依据给定的显著性水平确定拒绝域，最后将计算得到的统计量的值与拒绝域进行比较，从而做出是否拒绝原假设的决策，得出设备更新前后产品平均重量是否有变化的结论。
- 提出假设：
- 零假设 $H_0$：设备更新前后产品的平均重量没有变化，即 $\mu = 12$ g。
- 备择假设 $H_1$：设备更新前后产品的平均重量有变化，即 $\mu \neq 12$ g。
- 确定检验统计量：
由于样本量 $n = 100$ 较大，且总体标准差 $\sigma = 1$ g 已知，我们使用 Z 检验。检验统计量公式为：
$Z = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$
其中，$\overline{x} = 12.5$ g 是样本均值，$\mu_0 = 12$ g 是原假设中的总体均值，$\sigma = 1$ g 是总体标准差，$n = 100$ 是样本容量。 - 计算检验统计量的值：
将 $\overline{x} = 12.5$，$\mu_0 = 12$，$\sigma = 1$，$n = 100$ 代入公式可得：
$Z = \frac{12.5 - 12}{1 / \sqrt{100}} = \frac{0.5}{1 / 10} = \frac{0.5}{0.1} = 5$ - 确定拒绝域：
对于双侧检验，显著性水平 $\alpha = 0.05$，对应的临界值为 $u_{0.025} = 1.96$。拒绝域为 $|Z| > 1.96$。 - 做出决策：
计算得到的 Z 值为 5，因为 $|5| > 1.96$，所以我们拒绝零假设 $H_0$。 - 结论：
拒绝零假设意味着有足够的证据表明设备更新前后产品的平均重量有显著变化。