题目
设 X sim N(3, sigma^2)，且 P3 < X < 6 = 0.4，则 PX < 0 = ( ). A 0.9 B 0.4 C 0.6 D 0.1
设 $X \sim N(3, \sigma^2)$，且 $P\{3 < X < 6\} = 0.4$，则 $P\{X < 0\} = (\quad)$.
A 0.9
B 0.4
C 0.6
D 0.1
题目解答
答案
已知 $X \sim N(3, \sigma^2)$，且 $P\{3 < X < 6\} = 0.4$。
标准化得 $Z = \frac{X - 3}{\sigma}$，则
\[P\left\{0 < Z < \frac{3}{\sigma}\right\} = 0.4.\]
由对称性，
\[P\left\{Z < \frac{3}{\sigma}\right\} = 0.9.\]
因此，
\[P\left\{Z < -\frac{3}{\sigma}\right\} = 1 - 0.9 = 0.1.\]
即
\[P\{X < 0\} = 0.1.\]
或利用对称性直接计算：
\[P\{0 < X < 3\} = 0.4,\]
\[P\{X < 0\} = P\{X < 3\} - P\{0 < X < 3\} = 0.5 - 0.4 = 0.1.\]
答案：$\boxed{D}$。
解析
考查要点：本题主要考查正态分布的标准化变换及对称性应用。
解题核心思路：将非标准正态分布转化为标准正态分布，利用已知概率求出关键分位点对应的概率，再通过分布的对称性求解目标概率。
破题关键点：
- 标准化变换：将原分布转化为标准正态分布，简化计算。
- 对称性分析：利用正态分布关于均值对称的特性，快速关联不同区间的概率。
标准化处理：
设 $X \sim N(3, \sigma^2)$，令 $Z = \frac{X - 3}{\sigma}$，则 $Z \sim N(0, 1)$。
根据题意，$P\{3 < X < 6\} = 0.4$，标准化后对应：
$P\left\{0 < Z < \frac{3}{\sigma}\right\} = 0.4.$
利用对称性求解：
- 确定右侧概率：
由标准正态分布的性质，$P\{Z < \frac{3}{\sigma}\} = P\{Z < 0\} + P\{0 < Z < \frac{3}{\sigma}\} = 0.5 + 0.4 = 0.9$。 - 对称性关联左侧概率：
根据对称性，$P\{Z < -\frac{3}{\sigma}\} = 1 - P\{Z < \frac{3}{\sigma}\} = 1 - 0.9 = 0.1$。 - 转换为原变量：
当 $Z = -\frac{3}{\sigma}$ 时，$X = 3 - \sigma \cdot \frac{3}{\sigma} = 0$，因此：
$P\{X < 0\} = P\left\{Z < -\frac{3}{\sigma}\right\} = 0.1.$
另一种思路：
直接利用对称性，$P\{0 < X < 3\} = P\{3 < X < 6\} = 0.4$，则：
$P\{X < 0\} = P\{X < 3\} - P\{0 < X < 3\} = 0.5 - 0.4 = 0.1.$