题目
若随机变量X与Y相互独立且服从同一分布,若令,则U=X+Y,V=X-Y,则U与V_。(相关或不相关)
若随机变量X与Y相互独立且服从同一分布,若令,则U=X+Y,V=X-Y,则U与V_。(相关或不相关)
题目解答
答案
U与V的协方差Cov(U,V)=Cov(X+Y,X-Y)
根据协方差的性质Cov(A+B,C)=Cov(A,C)+Cov(B,C)以及Cov(A,B)=E(AB)-E(A)E(B)，可得：
Cov(X + Y,X-Y)=Cov(X,X-Y)+Cov(Y,X-Y)
=Cov(X,X)-Cov(X,Y)+Cov(Y,X)-Cov(Y,Y)
因为X与Y相互独立，则Cov(X,Y)=0，Cov(Y,X)=0
所以Cov(X+Y,X-Y)=Cov(X,X)-Cov(Y,Y)=D(X)-D(Y)
又因为X与Y服从同一分布，所以D(X)=D(Y)，则Cov(X+Y,X-Y)=0
当协方差Cov(U,V)=0时，说明U与V不相关
故答案是: 不相关
解析
步骤 1：定义协方差
协方差Cov(U,V)定义为Cov(U,V)=E[(U-E[U])(V-E[V])]，其中E[U]和E[V]分别是U和V的期望值。
步骤 2：计算协方差Cov(U,V)
根据题目条件，U=X+Y,V=X-Y，代入协方差的定义式，得到Cov(U,V)=Cov(X+Y,X-Y)。
步骤 3：利用协方差的性质
根据协方差的性质Cov(A+B,C)=Cov(A,C)+Cov(B,C)，可得Cov(X+Y,X-Y)=Cov(X,X-Y)+Cov(Y,X-Y)。
步骤 4：进一步简化
根据协方差的性质Cov(A,B)=E(AB)-E(A)E(B)，可得Cov(X,X-Y)=Cov(X,X)-Cov(X,Y)和Cov(Y,X-Y)=Cov(Y,X)-Cov(Y,Y)。
步骤 5：利用X与Y的独立性
因为X与Y相互独立，所以Cov(X,Y)=0，Cov(Y,X)=0，代入上式得到Cov(X+Y,X-Y)=Cov(X,X)-Cov(Y,Y)=D(X)-D(Y)。
步骤 6：利用X与Y的同分布性
因为X与Y服从同一分布，所以D(X)=D(Y)，代入上式得到Cov(X+Y,X-Y)=0。
步骤 7：判断U与V的相关性
当协方差Cov(U,V)=0时，说明U与V不相关。
协方差Cov(U,V)定义为Cov(U,V)=E[(U-E[U])(V-E[V])]，其中E[U]和E[V]分别是U和V的期望值。
步骤 2：计算协方差Cov(U,V)
根据题目条件，U=X+Y,V=X-Y，代入协方差的定义式，得到Cov(U,V)=Cov(X+Y,X-Y)。
步骤 3：利用协方差的性质
根据协方差的性质Cov(A+B,C)=Cov(A,C)+Cov(B,C)，可得Cov(X+Y,X-Y)=Cov(X,X-Y)+Cov(Y,X-Y)。
步骤 4：进一步简化
根据协方差的性质Cov(A,B)=E(AB)-E(A)E(B)，可得Cov(X,X-Y)=Cov(X,X)-Cov(X,Y)和Cov(Y,X-Y)=Cov(Y,X)-Cov(Y,Y)。
步骤 5：利用X与Y的独立性
因为X与Y相互独立，所以Cov(X,Y)=0，Cov(Y,X)=0，代入上式得到Cov(X+Y,X-Y)=Cov(X,X)-Cov(Y,Y)=D(X)-D(Y)。
步骤 6：利用X与Y的同分布性
因为X与Y服从同一分布，所以D(X)=D(Y)，代入上式得到Cov(X+Y,X-Y)=0。
步骤 7：判断U与V的相关性
当协方差Cov(U,V)=0时，说明U与V不相关。