题目

设 X_1, X_2, X_3, X_4 是来自正态总体 N(0, 2^2) 的样本，令 Y = (X_1 + X_2)^2 + (X_3 - X_4)^2。则当 C = ____ 时 CY sim chi^2(2)。(结果请填写小数。)

设 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 是来自正态总体 $N(0, 2^2)$ 的样本，令 $Y = (X_1 + X_2)^2 + (X_3 - X_4)^2$。则当 $C = \_\_\_\_$ 时 $CY \sim \chi^2(2)$。

(结果请填写小数。)

题目解答

答案

设 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 来自正态总体 $N(0, 4)$，则 $X_1 + X_2 \sim N(0, 8)$，$X_3 - X_4 \sim N(0, 8)$。
令 $Z_1 = \frac{X_1 + X_2}{\sqrt{8}}$，$Z_2 = \frac{X_3 - X_4}{\sqrt{8}}$，则 $Z_1, Z_2 \sim N(0, 1)$。
由 $Y = (X_1 + X_2)^2 + (X_3 - X_4)^2 = 8(Z_1^2 + Z_2^2)$，
为使 $CY \sim \chi^2(2)$，需 $C \cdot 8 = 1$，解得 $C = \frac{1}{8} = 0.125$。

答案： $\boxed{0.125}$