每个正常男性成人血液中每毫升所含的白细胞数的数学期望为7300，标准差为700。现准备随机抽查100个正常男性成人的血液，记第i个被抽查人的血液中每毫升所含的白细胞数为X_i，i=1,2,...,100。记overline(X)=(1)/(100)sum_(i=1)^100X_i，已知phi(1)=0.8413，则概率P(7230leqoverline(X)leq7370)的近似值为A. 0.8413B. 0.6826C. 0.3174D. 0.1587

本题考查中心极限定理的应用。解题思路是先根据已知条件确定$X_i$的期望和方差，再利用中心极限定理得出$\overline{X}$的近似分布，最后将所求概率转化为标准正态分布的概率进行计算。

步骤一：确定$X_i$的期望和方差

已知每个正常男性成人血液中每毫升所含的白细胞数的数学期望为$7300$，标准差为$700$，即$E(X_i)=7300$，$D(X_i)=700^2$，$i = 1,2,\cdots,100$。

步骤二：计算$\overline{X}$的期望和方差

根据期望和方差的性质：

• 期望：$E(\overline{X}) = E(\frac{1}{100}\sum_{i = 1}^{100}X_i)=\frac{1}{100}\sum_{i = 1}^{100}E(X_i)$，因为$E(X_i)=7300$，所以$E(\overline{X})=\frac{1}{100}\times100\times7300 = 7300$。
• 方差：$D(\overline{X}) = D(\frac{1}{100}\sum_{i = 1}^{100}X_i)=\frac{1}{100^2}\sum_{i = 1}^{100}D(X_i)$，因为$D(X_i)=700^2$，所以$D(\overline{X})=\frac{1}{100^2}\times100\times700^2 = 4900$。

步骤三：根据中心极限定理确定$\overline{X}$的近似分布

由中心极限定理可知，当$n$充分大（本题$n = 100$）时，$\overline{X}$近似服从正态分布$N(E(\overline{X}),D(\overline{X}))$，即$\overline{X}\sim N(7300,4900)$。

步骤四：将所求概率转化为标准正态分布的概率

令$Z = \frac{\overline{X} - E(\overline{X})}{\sqrt{D(\overline{X})}}=\frac{\overline{X} - 7300}{70}$，则$Z\sim N(0,1)$。
$P(7230\leq\overline{X}\leq7370)=P(\frac{7230 - 7300}{70}\leq\frac{\overline{X} - 7300}{70}\leq\frac{7370 - 7300}{70})$
$=P(-1\leq Z\leq1)$
根据标准正态分布的性质$P(-1\leq Z\leq1)=\varPhi(1)-\varPhi(-1)$，又因为$\varPhi(-1)=1 - \varPhi(1)$，所以$P(-1\leq Z\leq1)=\varPhi(1)-(1 - \varPhi(1)) = 2\varPhi(1) - 1$。
已知$\varPhi(1)=0.8413$，则$P(-1\leq Z\leq1)=2\times0.8413 - 1 = 0.6826$。