题目

由某个正态总体中抽出一个容量为21的样本,算得样本方差S2 = 10,根据此结果能否说明总体方差小于15的结论?(α= 0.05)

由某个正态总体中抽出一个容量为21的样本,算得样本方差S2 = 10,根据此结果能否说明总体方差小于15的结论?(α= 0.05)

题目解答

答案

解:根据题意,应检验

H:2=15, H1:2 <15(单侧)

已知 2=15,n=21, S2=10

则2检验统计量的值

对于给定的=0.05和自由度n-1=20,由2分布表(附表5)查得临界值

( n-1)=(20)=(20)=10.851,

因为,P>0.05,故接受H,认为2与15无显著差异。

解析

本题考查正态总体方差的假设检验，解题思路如下：

  1. 首先提出原假设 $H_0: \sigma^2 = 15$ 和备择假设 $H_1: \sigma^2 < 15$（单侧检验。
  2. 已知已知总体方差 $\sigma_0^2 = 15$，样本容量 $n = 21$，样本方差 $S^2 = 10$。
  3. 然后计算 $\chi^2$ 检验统计量的值，根据公式 $\chi^2=\dfrac{(n - 1)S^2}{\sigma_0^2}$，将已知数据代入可得：
    $\chi^2=\dfrac{(21 - 1)\times 10}{15}=\dfrac{20\times 10}{15}=\rac{200}{15}\approx 13.333$。
  4. 接着确定自由度为 $n - 1 = 21 - 1 = 20$，对于给定的显著性水平 $\alpha = 0.05$，由 $\chi^2$ 分布表查得临界值 $\chi^2_{1 - \alpha}(n - 1)=\chi^2_{0.05}(20)=\chi^2_{1.95}(20} = 10.851$。
  5. 最后比较 $\chi^2$ 统计量的值和临界值，因为 $\chi^2 = 13.333> 10.851$，所以 $P>0.05$，故接受原假设 $H_0$，认为总体方差与 $15$ 无显著差异。