已知某高校共有10000名学生，其图书馆阅览室共有994个座位，假设学生是否去自习是相互独立的，且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率均为0.1。(1)将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为X，求X的期望和方差。(2)18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布B(n,p)，那么当n比较大时，可视为X服从正态分布N(mu ,sigma ^2)。任意正态分布都可变换为标准正态分布(mu =0且sigma =1的正态分布)，如果随机变量Ysim N(mu ,sigma ^2)，那么令Z=({Y-mu )over(sigma ) }，则可以证明Zsim N(0,1)。当Zsim N(0,1)时，对于任意实数a,记Phi (a)=P(Z< a)。已知下表为标准正态分布表(节选)，该表用于查询标准正态分布对应的概率值．例如当a=0.16时，由于0.16=0.1+0.06，则先在表的最左列找到数字0.1(位于第三行)，然后在表的最上行找到数字0.06(位于第八列)，则表中位于第三行第八列的数字0.5636便是Phi (0.16)的值。a 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09-|||-0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359-|||-0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753-|||-0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141-|||-0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6404 0.6443 0.6480 0.6517-|||-0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879-|||-0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224(rm i)求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率。(rm ii)若要使在晚自习时间阅览室座位够用的概率高于0.7，则至少需要添加多少个座位。
已知某高校共有$$10000$$名学生，其图书馆阅览室共有$$994$$个座位，假设学生是否去自习是相互独立的，且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率均为$$0.1$$。
(1)将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为$$X$$，求$$X$$的期望和方差。
(2)$$18$$世纪$$30$$年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量$$X$$服从二项分布$$B(n,p)$$，那么当$$n$$比较大时，可视为$$X$$服从正态分布$$N(\mu ,\sigma ^2)$$。任意正态分布都可变换为标准正态分布($$\mu =0$$且$$\sigma =1$$的正态分布)，如果随机变量$$Y\sim N(\mu ,\sigma ^2)$$，那么令$$Z={{Y-\mu }\over{\sigma } }$$，则可以证明$$Z\sim N(0,1)$$。当$$Z\sim N(0,1)$$时，对于任意实数$$a$$,记$$\Phi (a)=P(Z< a)$$。已知下表为标准正态分布表(节选)，该表用于查询标准正态分布对应的概率值．例如当$$a=0.16$$时，由于$$0.16=0.1+0.06$$，则先在表的最左列找到数字$$0.1$$(位于第三行)，然后在表的最上行找到数字$$0.06$$(位于第八列)，则表中位于第三行第八列的数字$$0.5636$$便是$$\Phi (0.16)$$的值。
($$\rm i$$)求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率。
($$\rm ii$$)若要使在晚自习时间阅览室座位够用的概率高于$$0.7$$，则至少需要添加多少个座位。
题目解答
答案
(1)由题意得，若学生去自习室为记$$1$$，不去记为$$0$$，
$$X\sim B(10000,0.1)$$，$$E(X)=np=1000$$，
$$DX=10000\times 0.1\times (1-0.1)=900$$。 ......4分
(2)($$\rm i$$)由于(1)中二项分布中$$n$$值较大，所以可以认为随机变量$$X$$服从正态分布$$X\sim N(\mu ,\sigma ^2)$$，由(1)可知$$\mu =1000$$，$$\sigma^2=900$$，
所以$$X\sim N(1000,900)$$，则$${{X-1000}\over{30} }\sim N(0,1)$$，
则$$P(X<994)=P({{X-1000}\over{30} }< -0.2)=\Phi (-0.2)$$，
又因为$$\Phi (-0.2)=1-\Phi (0.2)$$，
所以$$\Phi(X\geqslant 994)=1-P(X<994)=\Phi (0.2)=0.5793$$，
所以在晚自习时间阅览室座位不够用的概率为$$0.5793$$。 ......8分
($$\rm ii$$)查表可知：$$\Phi (0.53)=0.7019$$，
$$P({{X-1000}\over{30}} < 0.53)=0.7019$$，
因为$$P(X<1015)=$$$$P({{X-1000}\over{30}} < 0.53)=\Phi (0.5)=0.6915< 0.7$$，
座位至少要有$$1016$$个，则需要添加$$1016-994=22$$个座位。......12分
解析
由于每个学生去自习室的概率为$$0.1$$，且学生是否去自习是相互独立的，所以$$X$$服从二项分布$$B(10000,0.1)$$。二项分布的期望和方差分别为$$E(X)=np$$和$$D(X)=np(1-p)$$，其中$$n=10000$$，$$p=0.1$$。
步骤 2：计算$$X$$的期望和方差
根据二项分布的期望和方差公式，我们有$$E(X)=10000\times 0.1=1000$$，$$D(X)=10000\times 0.1\times (1-0.1)=900$$。
步骤 3：求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率
当$$n$$较大时，二项分布可以近似为正态分布，即$$X\sim N(1000,900)$$。要计算座位不够用的概率，即$$P(X>994)$$，我们首先需要将$$X$$标准化，得到$$Z={{X-1000}\over{30} }$$，其中$$\sigma=\sqrt{900}=30$$。然后，我们计算$$P(Z>{{994-1000}\over{30} })=P(Z>-0.2)$$，利用标准正态分布表查得$$\Phi(-0.2)=1-\Phi(0.2)=1-0.5793=0.4207$$。
步骤 4：求至少需要添加多少个座位
要使座位够用的概率高于$$0.7$$，即$$P(X\leqslant x)\geqslant 0.7$$，我们首先需要找到$$\Phi(a)=0.7$$对应的$$a$$值，查表得$$a=0.53$$。然后，我们计算$$x$$，即$$x=1000+0.53\times 30=1015.9$$，取整数得$$x=1016$$。因此，至少需要添加$$1016-994=22$$个座位。