设A=} 1 & 2 & 3 2 & 3 & 1 3 & 1 & 2 ，则A的秩r(A)=()。A. 0B. 3C. 2D. 1

本题考查矩阵秩的计算，解题思路是通过对矩阵进行初等行变换将其化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数即为原矩阵的秩。

下面对矩阵$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$进行初等行变换：

• 第一步：将第一行乘以$-2$加到第二行，将第一行乘以$-3$加到第三行
  根据矩阵初等行变换规则$r_i + k r_j$（表示第$i$行加上第$j$行的$k$倍），可得：
  $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}\xrightarrow{r_2 - 2r_1}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 - 2\times1 & 3 - 2\times2 & 1 - 2\times3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -5 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}\xrightarrow{r_3 - 3r_1}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -5 \\ 3 - 3\times1 & 1 - 3\times2 & 2 - 3\times3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -5 \\ 0 & -5 & -7 \end{pmatrix}$
• 第二步：将第二行乘以$-5$加到第三行
  $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -5 \\ 0 & -5 & -7 \end{pmatrix}\xrightarrow{r_3 - 5r_2}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -5 \\ 0 - 5\times0 & -5 - 5\times(-1) & -7 - 5\times(-5) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -5 \\ 0 & 0 & 18 \end{pmatrix}$

此时得到的矩阵$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -5 \\ 0 & 0 & 18 \end{pmatrix}$是行阶梯形矩阵，它有$3$个非零行，所以矩阵$A$的秩$r(A)=3$。