题目

现代的建筑构建,工艺品,甚至司机的执照,商业的信用卡等常常都是采用黄金矩形,下面列出某工艺品厂随机取得25个矩形得宽度与长度的比值,可得均值0.67,均方差0.09。设这一工厂生产矩形的宽度与长度的比值总体approx N(mu ,(sigma )^2)，其中approx N(mu ,(sigma )^2)均未知。（1）试检验假设approx N(mu ,(sigma )^2)（2）试检验假设approx N(mu ,(sigma )^2)

现代的建筑构建,工艺品,甚至司机的执照,商业的信用卡等常常都是采用黄金矩形,下面列出某工艺品厂随机取得25个矩形得宽度与长度的比值,可得均值0.67,均方差0.09。设这一工厂生产矩形的宽度与长度的比值总体 $X\sim N\left(\mu,\sigma^2\right)$ ，其中 $\mu,\sigma^2$ 均未知。

（1）试检验假设 $H_0:\mu=0.62,H_1:\mu\ne0.62;\left(\alpha=0.05\right)$

（2）试检验假设 $H_0:\sigma^2=0.11^2,H_1:\sigma^2\ne0.11^2。\left(\alpha=0.05\right)$

题目解答

答案

解：由题目已知： $n=25,\overline{x}=0.67,s^2=0.09,\alpha=0.05$

（1）根据题目的假设，给出拒绝域 $\left\{\left|t\right|\ge t_{1-\frac{\alpha}{2}}\left(n-1\right)\right\}=\left\{\left|t\right|\ge t_{0.975}\left(24\right)\right\}$

在 $\mu,\sigma^2$ 均未知时，单个正态总体均值的假设检验。

检验统计量为： $t=\frac{\sqrt{n}\left(\overline{x}-\mu_0\right)}{s}=\frac{\sqrt{25}\left(0.67-0.62\right)}{0.3}\approx0.8333$

$\left|t\right|\approx0.8333<t_{0.975}\left(24\right)=2.0639$

此处 $t$ 没落入拒绝域内，故不拒绝原假设，可以认为某工艺品工厂生产矩形的宽度与长度的比值均值符合黄金矩阵。

（2）根据题目的假设，给出拒绝域 $\left\{χ^2\geχ_{1-\frac{\alpha}{2}}^2\left(n-1\right)\right\}或\left\{χ^2\leχ_{\frac{\alpha}{2}}^2\left(n-1\right)\right\}=\left\{χ^2\geχ_{0.975}^2\left(24\right)\right\}或\left\{χ^2\leχ_{0.025}^2\left(24\right)\right\}$

在 $\mu,\sigma^2$ 均未知时，单个正态总体方差的假设检验。

检验统计量为： $χ^2=\frac{\left(n-1\right)s^2}{\sigma_0^2}=\frac{\left(25-1\right)\times0.09}{0.11^2}\approx178.5124$

$χ^2\approx178.5124>\left\{χ^2\geχ_{0.975}^2\left(24\right)\right\}=39.3641$

此处 $χ^2$ 落入拒绝域内，故拒绝原假设，认为某工艺品工厂生产矩形的宽度与长度的比值方差不符合黄金矩阵。

解析

步骤 1：确定检验统计量和拒绝域
对于均值的假设检验，当总体方差未知时，使用t检验。对于方差的假设检验，使用卡方检验。
步骤 2：计算检验统计量
对于均值的检验，计算t统计量。对于方差的检验，计算卡方统计量。
步骤 3：比较检验统计量与临界值
将计算出的检验统计量与临界值进行比较，以确定是否拒绝原假设。