设随机变量 X_1, X_2, ldots, X_(100) 相互独立，且服从同一分布 P(X=0)=P(X=1)=(1)/(2). Phi(x) 表示标准正态分布的分布函数，则由中心极限定理知 P(sum_(i=1)^100 X_i leq 55) 的近似值为（ ）。A. Phi(0.2)B. 1-Phi(0.2)C. Phi(1)D. 1-Phi(1)

本题考查中心极限定理的应用。解题思路是先确定随机变量$X_i$的期望和方差，再根据中心极限定理将$\sum_{i = 1}^{100}X_i$近似为正态分布，最后通过标准化变换计算$P\left(\sum_{i = 1}^{100}X_i\leq55\right)$的近似值。

1. 计算$X_i$的期望$E(X_i)$和方差$D(X_i)$：
   已知随机变量$X_i$服从两点分布$P(X = 0)=P(X = 1)=\frac{1}{2}$，根据期望和方差的计算公式：
   • 期望$E(X_i)=0\times\frac{1}{2}+1\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。
   • 方差$D(X_i)=E(X_i^2)-[E(X_i)]^2$，其中$E(X_i^2)=0^2\times\frac{1}{2}+1^2\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，所以$D(X_i)=\frac{1}{2}-(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
2. 根据中心极限定理确定$\sum_{i = 1}^{100}X_i$的近似分布：
   因为$X_1,X_2,\cdots,X_{100}$相互独立且服从同一分布，由中心极限定理可知，当$n$充分大（本题$n = 100$）时，$\sum_{i = 1}^{n}X_i$近似服从正态分布$N(nE(X_i),nD(X_i))$。
   将$n = 100$，$E(X_i)=\frac{1}{2}$，$D(X_i)=\frac{1}{4}$代入可得$\sum_{i = 1}^{100}X_i$近似服从正态分布$N(100\times\frac{1}{2},100\times\frac{1}{4})$，即$N(50,25)$。
3. 对$\sum_{i = 1}^{100}X_i$进行标准化变换：
   设$Z=\frac{\sum_{i = 1}^{100}X_i - 50}{\sqrt{25}}=\frac{\sum_{i = 1}^{100}X_i - 50}{5}$，则$Z$近似服从标准正态分布$N(0,1)$。
4. 计算$P\left(\sum_{i = 1}^{100}X_i\leq55\right)$的近似值：
   $P\left(\sum_{i = 1}^{100}X_i\leq55\right)=P\left(\frac{\sum_{i = 1}^{100}X_i - 50}{5}\leq\frac{55 - 50}{5}\right)=P\left(Z\leq\frac{5}{5}\right)=P(Z\leq1)$。
   因为$\Phi(x)$表示标准正态分布的分布函数，所以$P(Z\leq1)=\Phi(1)$。